Considere o ácido diprótico \mathrm{H}_{2} \mathrm{~A} \operatorname{com} K_{1}=1,00 \times 10^{-4} \mathrm{e} K_{2}=1,00 \times 10^{-8}. Determine o pH e as concentrações de \mathrm{H}_{2} \mathrm{~A}, \mathrm{HA}^{-}e \mathrm{A}^{2-} em cada uma das soluções seguintes:
\mathrm{Na}_{2} \mathrm{~A} 0,100 \mathrm{M}.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo que segue foi retirado do enunciado):
  • O ácido diprótico \mathrm{H}_2\mathrm{A} tem constantes de dissociação K_1 = 1,00\times10^{-4} e K_2 = 1,00\times10^{-8}.
  • Foi preparada uma solução de \mathrm{Na}_2\mathrm{A} com concentração inicial 0,100\\ \mathrm{M}.
  • Pergunta-se: determinar o pH da solução e as concentrações em equilíbrio de \mathrm{H}_2\mathrm{A}, \mathrm{HA}^- e \mathrm{A}^{2-}.

Passo 2

Entendendo o que acontece quimicamente (sem usar jargões excessivos): \mathrm{Na}_2\mathrm{A} é o sal da base conjugada \mathrm{A}^{2-}. Na solução aquosa inicial temos praticamente toda a espécie como \mathrm{A}^{2-} com concentração 0,100\\ \mathrm{M}. Essa espécie pode reagir com a água (hidrolisar) para formar \mathrm{HA}^- e \mathrm{OH}^-:
\mathrm{A}^{2-} + \mathrm{H_2O} \rightleftharpoons \mathrm{HA}^- + \mathrm{OH}^-.
Para tratar isso quantitativamente precisamos do equilíbrio básico associado a essa reação. A constante de basicidade K_b da reação acima está ligada à constante de acidez da reação inversa (que é K_2 para \mathrm{HA}^- \rightleftharpoons \mathrm{H}^+ + \mathrm{A}^{2-}). A relação é
K_b = \frac{K_w}{K_a},
onde K_w = 1,00\times10^{-14}. Usando K_a = K_2 = 1,00\times10^{-8} obtemos:
K_b = \frac{1,00\times10^{-14}}{1,00\times10^{-8}} = 1,00\times10^{-6}.
Explicação curta e amigável: isso diz que \mathrm{A}^{2-} é uma base fraca com K_b=10^{-6}; portanto ocorrerá alguma formação de \mathrm{OH}^- e de \mathrm{HA}^-, deixando a solução básica.

Passo 3

Montar a tabela de equilíbrio e definir a incógnita. Seja C_0=0,100\\ \mathrm{M} a concentração inicial de \mathrm{A}^{2-}. Chame x a concentração de \mathrm{OH}^- (e também de \mathrm{HA}^-) formada por hidrolise:
\begin{array}{c|ccc} & \mathrm{A}^{2-} & + & \mathrm{H_2O} \rightleftharpoons \mathrm{HA}^- & + & \mathrm{OH}^- \\\ \hline \text{inicial (M)} & C_0 & & & 0 & 0 \\\ \text{variação (M)} & -x & & & +x & +x \\\ \text{eq (M)} & C_0 - x & & & x & x \end{array}
A expressão de K_b é
K_b = \frac{[\mathrm{HA}^-][\mathrm{OH}^-]}{[\mathrm{A}^{2-}]} = \frac{x\cdot x}{C_0 - x} = \frac{x^2}{C_0 - x}.
Como K_b é pequeno e C_0 é relativamente grande, é comum usar a aproximação C_0 - x \approx C_0. Vou justificar depois, mas primeiro aplico-a para obter x facilmente:
x \approx \sqrt{K_b\,C_0}.

Passo 4

Calcular numericamente x com a aproximação:
x \approx \sqrt{(1,00\times10^{-6})\cdot(0,100)} = \sqrt{1,00\times10^{-7}} = 3,162\times10^{-4}\\ \mathrm{M}.
Esse x é [\mathrm{OH}^-] = [\mathrm{HA}^-] aproximados.
Verificação da aproximação: comparar x com C_0:
\frac{x}{C_0} = \frac{3,162\times10^{-4}}{0,100} = 3,162\times10^{-3} \approx 0{,}32\%,
ou seja, x é muito pequeno frente a C_0, logo a aproximação é válida.

Passo 5

Calcular o pOH e o pH a partir de [\mathrm{OH}^-]. Primeiro:
\mathrm{pOH} = -\log_{10}[\mathrm{OH}^-] = -\log_{10}(3,162\times10^{-4}).
Note que 3,162\times10^{-4}=10^{-3,5}, logo
\mathrm{pOH} = 3{,}50.
Como \mathrm{pH} + \mathrm{pOH} = 14{,}00 (à temperatura padrão),
\mathrm{pH} = 14{,}00 - 3{,}50 = 10{,}50.

Passo 6

Determinar as concentrações de todas as espécies em equilíbrio.
Temos já [\mathrm{HA}^-] \approx x = 3,162\times10^{-4}\\ \mathrm{M}.
Para [\mathrm{H}^+] podemos usar [\mathrm{H}^+] = 10^{-\mathrm{pH}} = 10^{-10{,}50} = 3,162\times10^{-11}\\ \mathrm{M}.
A concentração de \mathrm{H}_2\mathrm{A} pode ser obtida usando a expressão da primeira dissociação (relação entre K_1, [\mathrm{H}^+], [\mathrm{HA}^-] e [\mathrm{H}_2\mathrm{A}]):
K_1 = \frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{HA}^-]}{[\mathrm{H}_2\mathrm{A}]}.
Isolando [\mathrm{H}_2\mathrm{A}]:
[\mathrm{H}_2\mathrm{A}] = \frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{HA}^-]}{K_1}.
Substituindo números:
[\mathrm{H}_2\mathrm{A}] = \frac{(3,162\times10^{-11})(3,162\times10^{-4})}{1,00\times10^{-4}}.
Multiplicando 3,162\times10^{-11} por 3,162\times10^{-4} 1,00\times10^{-14}; dividindo por 1,00\times10^{-4} resulta
[\mathrm{H}_2\mathrm{A}] = 1,00\times10^{-10}\\ \mathrm{M}.
Isso é extremamente pequeno (praticamente zero na prática), o que confirma que quase não há ácido protonado \mathrm{H}_2\mathrm{A} na solução de sal básica.
Finalmente, pela conservação de massa do ácido (total de A introduzido pelo sal),
C_0 = [\mathrm{A}^{2-}] + [\mathrm{HA}^-] + [\mathrm{H}_2\mathrm{A}].
Logo
[\mathrm{A}^{2-}] = C_0 - [\mathrm{HA}^-] - [\mathrm{H}_2\mathrm{A}] = 0,100 - 3,162\times10^{-4} - 1,00\times10^{-10}.
Numericamente,
[\mathrm{A}^{2-}] \approx 0,099684\\ \mathrm{M}.
(Arredondando conforme algarismos significativos da entrada, pode-se usar 0,0997\\ \mathrm{M}.)

Passo 7

Resumo das justificativas das aproximações usadas (pra te dar confiança na resposta):
  • Usei K_b = K_w/K_2 porque \mathrm{A}^{2-} é a base conjugada de \mathrm{HA}^- cuja acidez é dada por K_2.
  • Usei a aproximação C_0 - x \approx C_0 ao resolver K_b porque x/C_0\approx0{,}0032, ou seja, muito pequeno (erro desprezível).
  • Verifiquei que a formação de \mathrm{H}_2\mathrm{A} é desprezível comparada às outras espécies.

Resposta

pH = 10{,}50
[\mathrm{H}_2\mathrm{A}] = 1{,}00\times10^{-10}\\ \mathrm{M}
[\mathrm{HA}^-] = 3{,}16\times10^{-4}\\ \mathrm{M}
[\mathrm{A}^{2-}] = 9,9684\times10^{-2}\\ \mathrm{M}

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