Determine o pH e as concentrações de
\mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{3}, \mathrm{HSO}_{3}{ }^{-}, \mathrm{SO}_{3}{ }^{2-}
em cada uma das seguintes soluções:
0,05 \mathrm{M} de \mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{3}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a solução inicial de 0,05\\ \mathrm{M} de \mathrm{H}_{2}\mathrm{SO}_{3}:
  • Determinar o pH da solução.
  • Determinar as concentrações em equilíbrio de \mathrm{H}_{2}\mathrm{SO}_{3}, \mathrm{HSO}_{3}^{-} e \mathrm{SO}_{3}^{2-}.
Informações dadas:
  • Concentração inicial de \mathrm{H}_{2}\mathrm{SO}_{3}: \;[ \mathrm{H}_{2}\mathrm{SO}_{3} ]_0 = 0,05\\ \mathrm{M}.
  • Não há outras espécies adicionadas inicialmente (assume-se água pura como solvente).

Passo 2

Dados termodinâmicos (valores de constantes de acidez) usados — valores de tabela:
  • \;K_{a1} = 1,5\times10^{-2}.
  • \;K_{a2} = 6,3\times10^{-8}.
Breve explicação do que são essas constantes:
  • Para o ácido diprótico \mathrm{H}_{2}\mathrm{SO}_{3} as duas etapas de dissociação são \mathrm{H}_{2}\mathrm{SO}_{3} \rightleftharpoons \mathrm{H}^{+} + \mathrm{HSO}_{3}^{-},com constante \;K_{a1}, e \mathrm{HSO}_{3}^{-} \rightleftharpoons \mathrm{H}^{+} + \mathrm{SO}_{3}^{2-},com constante \;K_{a2}.
  • Cada K_a é definido como o quociente entre as concentrações dos produtos e dos reagentes em equilíbrio; por exemplo K_{a1}=\frac{[\mathrm{H}^{+}][\mathrm{HSO}_{3}^{-}]}{[\mathrm{H}_{2}\mathrm{SO}_{3}]},e análogo para K_{a2}.

Passo 3

Primeira dissociação (passo dominante). Monta-se a tabela ICE para a primeira reação assumindo que a contribuição de \mathrm{H}^+ de água é desprezível:
  • Inicial: [\mathrm{H}_{2}\mathrm{SO}_{3}] = 0,05,\; [\mathrm{HSO}_{3}^{-}] = 0,\; [\mathrm{H}^{+}] = 0.
  • No equilíbrio: seja x a concentração dissociada na primeira etapa: [\mathrm{H}_{2}\mathrm{SO}_{3}] = 0,05 - x,\quad [\mathrm{HSO}_{3}^{-}] = x,\quad [\mathrm{H}^{+}] = x.
Aplicando a expressão de K_{a1}:
K_{a1}=\frac{x\cdot x}{0,05-x}=\frac{x^{2}}{0,05-x}.
Isso dá a equação quadrática
x^{2}+K_{a1}\,x-K_{a1}\cdot 0,05=0.
Substituindo K_{a1}=1,5\times10^{-2}:
  • Calcula-se o discriminante: K_{a1}^{2}+4K_{a1}\cdot 0,05 = (1,5\times10^{-2})^{2}+4\cdot(1,5\times10^{-2})\cdot 0,05.
K_{a1}^{2}=0,000225,\qquad 4K_{a1}\cdot0,05=0,003,
\text{soma}=0,003225,\qquad \sqrt{0,003225}=0,05678\\ (\text{aprox.}).
  • Solução positiva para x: x=\frac{-K_{a1}+\sqrt{K_{a1}^{2}+4K_{a1}\cdot 0,05}}{2} =\frac{-0,015+0,05678}{2}=0,02089\\ \mathrm{M}.
Interpretação: após a primeira dissociação temos aproximadamente
[\mathrm{H}^{+}]\approx 0,02089\\ \mathrm{M},\qquad [\mathrm{HSO}_{3}^{-}]\approx 0,02089\\ \mathrm{M},
[\mathrm{H}_{2}\mathrm{SO}_{3}]\approx 0,05-0,02089=0,02911\\ \mathrm{M}.

Passo 4

Cálculo do pH a partir de [\mathrm{H}^{+}] (usando o valor obtido na primeira dissociação, pois a segunda dissociação contribui muito pouco para [\mathrm{H}^{+}]):
pH=-\log_{10}([\mathrm{H}^{+}])=-\log_{10}(0,02089)\approx 1,680.
Explicação curta sobre o cálculo do logaritmo: calcular -\log_{10}(0,02089) significa achar a potência negativa de dez que dá 0,02089; o resultado arredondado a três casas decimais é 1,680.

Passo 5

Segunda dissociação (detalhar por que é desprezível mas calcular o produto):
Para a segunda reação, supondo que da primeira etapa chegou-se a [\mathrm{HSO}_{3}^{-}]_{eq}\approx 0,02089 e já existe [\mathrm{H}^{+}]_{eq}\approx 0,02089, seja y a fração que se dissocia na segunda etapa:
  • Equilíbrio da segunda etapa: [\mathrm{HSO}_{3}^{-}]=0,02089-y,\quad [\mathrm{SO}_{3}^{2-}]=y,\quad [\mathrm{H}^{+}]=0,02089+y.
Aplicando K_{a2}:
K_{a2}=\frac{(0,02089+y)\,y}{0,02089-y}.
Mas K_{a2}=6,3\times10^{-8} é muito pequeno em comparação com 0,02089; portanto y\ll 0,02089, logo podemos aproximar 0,02089+y\approx 0,02089 e 0,02089-y\approx 0,02089. Assim:
K_{a2}\approx \frac{0,02089\cdot y}{0,02089}=y.
Portanto
y\approx K_{a2}=6,3\times10^{-8}\\ \mathrm{M}.
Conclusão do passo: a concentração de \mathrm{SO}_{3}^{2-} em equilíbrio é \approx 6,3\times10^{-8}\\ \mathrm{M}. A concentração de \mathrm{HSO}_{3}^{-} praticamente não muda por causa dessa dissociação tão fraca:
[\mathrm{HSO}_{3}^{-}]_{eq}\approx 0,02089-6,3\times10^{-8}\approx 0,02089\\ \mathrm{M}.

Passo 6

Verificações rápidas das aproximações (para ficar tranquilo):
  • Fração dissociada na primeira etapa: 0,02089/0,05\approx 0,418 (≈ 41,8%), portanto não era válida a aproximação simples x\ll C para a primeira etapa — por isso resolvemos a equação quadrática exatamente.
  • Para a segunda etapa: y/[\mathrm{HSO}_{3}^{-}]\approx 6{,}3\times10^{-8}/0,02089\approx 3,0\times10^{-6}\ll 1, então a aproximação y\ll 0,02089 é totalmente válida.

Resposta

pH = 1,680
[ \mathrm{H}_{2}\mathrm{SO}_{3} ] = 0,02911\\ \mathrm{M}
[ \mathrm{HSO}_{3}^{-} ] = 0,02089\\ \mathrm{M}
[ \mathrm{SO}_{3}^{2-} ] = 6,3\times10^{-8}\\ \mathrm{M}

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