Considere um aerofólio fino supersônico que está sendo ensaiado em um túnel de vento. O modelo tem 1,5 \mathrm{~m} de corda e 1 m de envergadura e seu ângulo de ataque é 5^{\circ}. Na câmara de ensaio o escoamento está a Mach 3,0 nas condições da atmosfera padrão à 6100 m de altitude. Calcule o coeficiente de sustentação e o coeficiente de arrasto por onda de choque. Calcule a sustentação e o arrasto por onda de choque. Recalcule os mesmos parâmetros nas mesmas condições, mas com o escoamento agora a Mach 2,0 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede os itens descritos abaixo.
  • Dados geométricos do modelo: \text{corda }=1{,}5\\ \mathrm{m},\qquad \text{envergadura }=1{,}0\\ \mathrm{m}.Área da asa (retangular): S = 1{,}5\cdot 1{,}0 = 1{,}5\\ \mathrm{m}^2.
  • Ângulo de ataque: \alpha = 5^\circ.
  • Condições do escoamento: atmosfera padrão à 6100\\ \mathrm{m}.
  • Dois casos a calcular:
    1. Escoamento a M=3{,}0.
    2. Escoamento a M=2{,}0.
  • O que o enunciado pede para cada caso:
    • Coeficiente de sustentação C_L.
    • Coeficiente de arrasto por onda de choque C_{D_w}.
    • Sustentação L (força, em N).
    • Arrasto por onda de choque D_w (força, em N).

Passo 2

Escolha do método (explicação rápida e justificativa): vamos usar a teoria linearizada para aerofólio fino em regime supersônico (teoria clássica de aerodinâmica supersonica para ângulos pequenos). Justificativas:
  • O ângulo de ataque é pequeno ( 5^\circ), então a linearização para pequenas perturbações é aplicável.
  • O problema pede coeficiente de arrasto por onda e coeficiente de sustentação típicos dessa teoria.
  • Esse método dá fórmulas simples e analíticas que são exatamente as usadas em provas e inspeções rápidas (e são apropriadas quando não se pede CFD).
    Vou usar essas fórmulas clássicas e calcular as forças com a pressão dinâmica obtida a partir da densidade e velocidade locais.

Passo 3

Calcular as condições atmosféricas em 6100\\ \mathrm{m} (ISA) — mostro passo a passo.
  • Constantes ISA e físicas usadas: T_0 = 288{,}15\\ \mathrm{K},\quad p_0 = 101325\\ \mathrm{Pa},\quad L = 0{,}0065\\ \mathrm{K/m},
g = 9{,}80665\\ \mathrm{m/s^2},\quad R = 287{,}058\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\quad \gamma = 1{,}4.
  • Temperatura a h=6100\\ \mathrm{m} (lapse linear): T = T_0 - L\,h = 288{,}15 - 0{,}0065\cdot 6100 = 248{,}50\\ \mathrm{K}.
  • Pressão utilizando a lei barométrica para troposfera: p = p_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^{\frac{g}{R\,L}}.Calculo numérico: \frac{g}{R\,L}\approx 5{,}255875,\qquad \frac{T}{T_0}=\frac{248{,}50}{288{,}15}=0{,}862305,
p = 101325\cdot 0{,}862305^{5{,}255875}\approx 46\,469\\ \mathrm{Pa}.
  • Densidade: \rho = \frac{p}{R\,T} = \frac{46\,469}{287{,}058\cdot 248{,}50}\approx 0{,}6516\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Velocidade do som: a = \sqrt{\gamma R T} = \sqrt{1{,}4\cdot 287{,}058\cdot 248{,}50}\approx 316{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidades para cada Mach: V_{M=3} = 3\cdot a \approx 948{,}0\\ \mathrm{m/s},\qquad V_{M=2} = 2\cdot a \approx 632{,}0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Apresentar as fórmulas da teoria linearizada supersonica para aerofólio fino (e explicar o que cada símbolo significa).
  • Para ângulos pequenos e aerofólio fino em escoamento supersônico linearizado, as fórmulas padrão para coeficientes de seção (coeficientes por área de referência S) são: C_L = \frac{4\alpha}{\sqrt{M^2-1}}e C_{D_w} = \frac{4\alpha^2}{\sqrt{M^2-1}}.Onde:
    • C_L é o coeficiente de sustentação adimensional (seção).
    • C_{D_w} é o coeficiente de arrasto associado às ondas (wave drag) adimensional.
    • \alpha é o ângulo de ataque em radianos.
    • M é o número de Mach do escoamento.
    • \sqrt{M^2-1} é frequentemente denotado por \beta na literatura ( \beta=\sqrt{M^2-1}).
Breve intuição: em supersonicidade a perturbação se espalha apenas dentro do cone de Mach; a teoria linearizada mostra que a diferença de pressão (e daí a sustentação) é proporcional a \alpha e inversamente proporcional a \beta; o arrasto por ondas surge, em primeira ordem, como termo quadrático em \alpha.
  • Importante: converter \alpha para radianos antes de aplicar as fórmulas: \alpha = 5^\circ = 5\cdot\frac{\pi}{180} \approx 0{,}0872665\\ \mathrm{rad}.

Passo 5

Cálculos dos coeficientes para M=3{,}0.
  • Calcular \beta: \beta = \sqrt{M^2-1} = \sqrt{3^2-1} = \sqrt{8} \approx 2{,}828427.
  • Coeficiente de sustentação: C_L = \frac{4\alpha}{\beta} = \frac{4\cdot 0{,}0872665}{2{,}828427}\approx 0{,}12343.
  • Coeficiente de arrasto por onda: C_{D_w} = \frac{4\alpha^2}{\beta} = \frac{4\cdot (0{,}0872665)^2}{2{,}828427}\approx 0{,}010768.

Passo 6

Forças (sustentação e arrasto por onda) para M=3{,}0.
  • Pressão dinâmica: q = \frac{1}{2}\rho V^2 = \frac{1}{2}\cdot 0{,}6516\cdot (948{,}0)^2 \approx 292\,580\\ \mathrm{Pa}.
  • Produto qS: qS = 292\,580\cdot 1{,}5 = 438\,870\\ \mathrm{N/m^2}\cdot\mathrm{m}^2 = 438\,870\\ \mathrm{N}.
  • Sustentação: L = qS\,C_L = 438\,870\cdot 0{,}12343 \approx 54\,126\\ \mathrm{N}.
  • Arrasto por onda: D_w = qS\,C_{D_w} = 438\,870\cdot 0{,}010768 \approx 4\,726\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Cálculos dos coeficientes para M=2{,}0.
  • Calcular \beta: \beta = \sqrt{M^2-1} = \sqrt{2^2-1} = \sqrt{3} \approx 1{,}732051.
  • Coeficiente de sustentação: C_L = \frac{4\alpha}{\beta} = \frac{4\cdot 0{,}0872665}{1{,}732051}\approx 0{,}20101.
  • Coeficiente de arrasto por onda: C_{D_w} = \frac{4\alpha^2}{\beta} = \frac{4\cdot (0{,}0872665)^2}{1{,}732051}\approx 0{,}017586.

Passo 8

Forças (sustentação e arrasto por onda) para M=2{,}0.
  • Pressão dinâmica: q = \frac{1}{2}\rho V^2 = \frac{1}{2}\cdot 0{,}6516\cdot (632{,}0)^2 \approx 130\,129\\ \mathrm{Pa}.
  • Produto qS: qS = 130\,129\cdot 1{,}5 = 195\,194\\ \mathrm{N}.
  • Sustentação: L = qS\,C_L = 195\,194\cdot 0{,}20101 \approx 39\,249\\ \mathrm{N}.
  • Arrasto por onda: D_w = qS\,C_{D_w} = 195\,194\cdot 0{,}017586 \approx 3\,432\\ \mathrm{N}.

Resposta

M=3{,}0:\quad C_L = 0{,}12343
M=3{,}0:\quad C_{D_w} = 0{,}010768
M=3{,}0:\quad L = 5{,}4126\times 10^{4}\\ \mathrm{N}
M=3{,}0:\quad D_w = 4{,}726\\ \mathrm{N}
M=2{,}0:\quad C_L = 0{,}20101
M=2{,}0:\quad C_{D_w} = 0{,}017586
M=2{,}0:\quad L = 3{,}9249\times 10^{4}\\ \mathrm{N}
M=2{,}0:\quad D_w = 3{,}432\\ \mathrm{N}

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