Considere as afirmações:
A1- Se f(x)=12 x-11x+15+11 então f^-1(x)=154-15 xx-23 nos pontos onde a inversa estiver definida.
A2- Toda função é uma relação mas nem toda relação é função.
A3- Seja f: A B uma função. Se X=f^-1(f(X)) para todo X subset A então f é injetora.
Estas afirmações são, respectivamente:
Escolha uma opção:
a. F, F, V
b. F, V, V
c. V, V, F
d. V, F, V
e. V, V, V

Passo 1

O enunciado traz três afirmações sobre funções: (1) cálculo de inversa de uma função racional, (2) relação entre ‘função’ e ‘relação’ em teoria de conjuntos, e (3) critério que envolve f^{-1}(f(X)) para testar injetividade. Vamos verificar cada uma.

Passo 2

Para A1, definimos y = f(x) = \frac{12x - 11}{x + 15} + 11 e resolvemos para x. Subtraindo 11: y - 11 = \frac{12x - 11}{x + 15}. Multiplicando: (y - 11)(x + 15) = 12x - 11. Desenvolvendo e isolar x: x(y - 23) = 154 - 15y. Logo, x = \frac{154 - 15y}{y - 23}. Substituindo y por x na fórmula da inversa, obtemos f^{-1}(x) = \frac{154 - 15x}{x - 23}, exatamente como dado. Portanto A1 é verdadeira.

Passo 3

Para A2, em teoria de relações e funções: toda função é um caso especial de relação (cada função é um conjunto de pares ordenados) e nem toda relação satisfaz a propriedade de unicidade do valor, logo nem toda relação é função. Então A2 é verdadeira.

Passo 4

Para A3, sabemos que para qualquer função f: A → B vale X \subset f^{-1}(f(X)), sempre. Se para todo X \subset A tivermos igualdade X = f^{-1}(f(X)), isso impede que dois elementos distintos de A sejam levados ao mesmo ponto em B (caso contrário f^{-1}(f({x1})) conteria x2 ≠ x1), logo f deve ser injetora. Assim A3 é verdadeira.

Resposta

V, V, V

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