Se f(x)=ll9 x^2+5 & x<0, 5-2 x^2 & x >= 0, então f^-1(y) para y>5 é igual a:
Escolha uma opção:
a. raiz5-y3
b. -raiz-y-5raiz2
c. -raizy-53
d. -raiz5-y3
e. raiz5 y-4raiz3

Passo 1

Temos a função definida por partes:
f(x)=9x^2+5,&x<0,5-2x^2,&x>=0
Queremos encontrar f^{-1}(y) para y>5. O conteúdo envolvido é inversão de função por ramo, estudando domínio e imagem de cada parte.

Passo 2

Precisamos ver qual ramo gera valores y>5. Para x<0, f(x)=9x^2+5, cuja imagem é (5,+\infty). Para x\ge0, f(x)=5-2x^2, cuja imagem é (-\infty,5]. Como y>5, só o ramo x<0 serve.

Passo 3

Invertendo a equação do ramo escolhido: seja y=9x^2+5. Subtraindo 5 e dividindo por 9, obtemos
x^2=y-59
Logo
x=pmraizy-59=pmraizy-53

Passo 4

Como neste ramo temos x<0, escolhemos a raiz negativa. Portanto,
f^-1(y)=-raizy-53

Resposta

-\frac{\sqrt{y-5}}{3}

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