Considere as afirmaçōes abaixo, caso a afirmação seja verdadeira, demonstre. Caso seja falsa, apresente um contra exemplo.
0 conjunto W=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y+4 x=1\right\} é um subespaço de \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
W = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y + 4x = 1\}
e pergunta se W é subespaço de \mathbb{R}^2. Para que um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^2 seja subespaço, é preciso verificar três propriedades:
  1. O vetor zero (0,0) pertence a W.
  2. W é fechado sob soma: se u,v\in W, então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e \alpha\in\mathbb{R}, então \alpha u\in W.

Passo 2

Checando a condição sobre o vetor zero, temos
(0,0)\quad\Longrightarrow\quad y+4x = 0 + 4\cdot0 = 0 \neq 1,
logo (0,0)\notin W. Isso já viola a primeira propriedade exigida para subespaço.

Resposta

A afirmação é falsa: W não é subespaço de \mathbb{R}^2 porque não contém o vetor zero (por exemplo, (0,0)\notin W visto que 0+4\cdot0=0\neq1).

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