Considere as afirmaçōes abaixo, caso a afirmação seja verdadeira, demonstre. Caso seja falsa, apresente um contra exemplo.
O conjunto W de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 com p(0)=0, é um subespaço vetorial de \mathbb{P}_{2}.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial \mathbb{P}_2 como o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2, e o subconjunto
W = \{\,p\in\mathbb{P}_2 \mid p(0)=0\}.
Para mostrar que W é subespaço de \mathbb{P}_2, precisamos verificar três propriedades padrão:
  1. W\neq\emptyset (contém o vetor zero).
  2. Fechamento sob soma: se p,q\in W então p+q\in W.
  3. Fechamento sob multiplicação escalar: se p\in W e \alpha é escalar, então \alpha p\in W.

Passo 2

Verificamos primeiro que o polinômio zero
0(x)=0
está em W, pois
0(0)=0.
Agora, sejam p,q\in W. Então
p(0)=0 \quad\text{e}\quad q(0)=0.
Para o polinômio soma p+q vale
(p+q)(0)=p(0)+q(0)=0+0=0,
logo p+q\in W. Assim a soma está fechada em W.

Passo 3

Seja \alpha um escalar e p\in W com p(0)=0. Então para o polinômio \alpha p temos
(\alpha p)(0)=\alpha\cdot p(0)=\alpha\cdot 0=0,
o que mostra que \alpha p\in W. Portanto, W é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

W é de fato um subespaço vetorial de \mathbb{P}_{2}.

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