Considere as afirmaçōes abaixo, caso a afirmação seja verdadeira, demonstre. Caso seja falsa, apresente um contra exemplo.
O conjunto
de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 com
, é um subespaço vetorial de
.
O conjunto
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
como o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2, e o subconjunto
Para mostrar que
é subespaço de
, precisamos verificar três propriedades padrão:
-
(contém o vetor zero). - Fechamento sob soma: se
então . - Fechamento sob multiplicação escalar: se
e é escalar, então .
Passo 2
Verificamos primeiro que o polinômio zero
está em
, pois
Agora, sejam
. Então
Para o polinômio soma
vale
logo
. Assim a soma está fechada em
.
Passo 3
Seja
um escalar e
com
. Então para o polinômio
temos
o que mostra que
. Portanto,
é fechado sob multiplicação escalar.