Faça o que se pede:
\left(\mathbf{0 , 5}\right. ponto) Verifique se a transformação T: P_{3}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}, definida por T\left(x t^{3}+y t^{2}+z t+w\right)=x+2 y+z é linear.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação
T\colon P_{3}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R},\quad T\bigl(x t^{3}+y t^{2}+z t+w\bigr)=x+2y+z
é linear. O conteúdo da matéria é espaços vetoriais e transformações lineares. Para isso precisamos mostrar que, para quaisquer polinômios p,q\in P_{3}(\mathbb{R}) e todo escalar \lambda\in\mathbb{R}, vale
1) T(p+q)=T(p)+T(q) (aditividade)
2) T(\lambda p)=\lambda\,T(p) (homogeneidade)

Passo 2

Sejam
p(t)=x\,t^{3}+y\,t^{2}+z\,t+w, \qquad q(t)=x'\,t^{3}+y'\,t^{2}+z'\,t+w'.
Então
p(t)+q(t)=(x+x')\,t^{3}+(y+y')\,t^{2}+(z+z')\,t+(w+w').
Aplicando T, obtemos
T\bigl(p+q\bigr) =(x+x')+2(y+y')+(z+z') =(x+2y+z)+(x'+2y'+z') =T(p)+T(q).

Passo 3

Para homogeneidade, seja \lambda\in\mathbb{R}. Então
\lambda\,p(t)=\lambda x\,t^{3}+\lambda y\,t^{2}+\lambda z\,t+\lambda w
e
T\bigl(\lambda p\bigr) =\lambda x+2(\lambda y)+\lambda z =\lambda\,(x+2y+z) =\lambda\,T(p).

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é linear.

Resposta

A transformação T é linear.

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