Considere as afirmaçōes abaixo, caso a afirmação seja verdadeira, demonstre. Caso seja falsa, apresente um contra exemplo.
O polinômio p(t)=1+4 t+7 t^{2} pode ser escrito como combinação linear de p_{1}(t)=1+t^{2}, p_{2}(t)=t+t^{2} e p_{3}(t)=1+2 t+t^{2}.

Passo 1

O enunciado pergunta se o polinômio
p(t)=1+4t+7t^{2}
pode ser escrito como combinação linear dos polinômios
p_{1}(t)=1+t^{2},\quad p_{2}(t)=t+t^{2},\quad p_{3}(t)=1+2t+t^{2}.
O conteúdo é representação de vetores em base e leva a montar um sistema linear a partir da igualdade de coeficientes.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c tais que
p(t)=a\,p_{1}(t)+b\,p_{2}(t)+c\,p_{3}(t).
Isso significa
1+4t+7t^{2} = a\,(1+t^{2}) \;+\; b\,(t+t^{2}) \;+\; c\,(1+2t+t^{2}).

Passo 3

Igualando coeficientes de 1, t e t^{2}, obtemos o sistema
\begin{cases} a + c = 1,\\\ b + 2c = 4,\\\ a + b + c = 7. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema: da primeira equação c=1-a. Substituindo na segunda:
b+2(1-a)=4\implies b=2a+2.
Na terceira:
a+(2a+2)+(1-a)=7\implies 2a+3=7\implies a=2.
Logo
b=2\cdot2+2=6,\quad c=1-2=-1.

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois
1+4t+7t^{2} =2\,p_{1}(t)+6\,p_{2}(t)-1\,p_{3}(t).

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