Considere a matriz
A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 2 & 4 \\\\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right]
a) ( \mathbf{0 , 5} ponto) Encontre o polinômio característico, os autovalores e autovetores da matriz A.
b) ( \mathbf{1 , 0} ponto) A matriz A é diagonalizável? Caso afirmativo, encontre uma matriz X e sua inversa que diagonalizam a matriz A, isto é, A=X D X^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz triangular superior
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 2 & 4\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
e pede (a) o polinômio característico, os autovalores e autovetores; (b) verificar se A é diagonalizável e, em caso positivo, encontrar X e X^{-1} tais que A = XDX^{-1}. Vamos usar propriedades de matrizes triangulares e resolver (A-\lambda I)x=0.

Passo 2

Como A é triangular, seu polinômio característico é o produto das entradas diagonais de A-\lambda I:
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda).

Passo 3

Para \lambda_1=1, resolvemos
(A - I)x = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 4\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0.
Da primeira linha 2y=0 vem y=0. Da segunda y+4z=0 z=0. Logo x é livre e podemos escolher o autovetor
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Para \lambda_2=2, resolvemos
(A - 2I)x = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 4\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0.
Da primeira linha -x+2y=0 x=2y. Da segunda 4z=0 z=0. Tomando y=1, obtemos
v_2 = \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda_3=3, resolvemos
(A - 3I)x = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 0\\\\ 0 & -1 & 4\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0.
Da primeira linha -2x+2y=0 y=x. Da segunda -y+4z=0 y=4z. Logo x=4z. Tomando z=1, obtemos
v_3 = \begin{pmatrix}4\\\ 4\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 6

Os três autovalores \{1,2,3\} são distintos, portanto há 3 autovetores linearmente independentes e A é diagonalizável.

Passo 7

Formamos
X=\bigl[v_1\;v_2\;v_3\bigr] =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\\\ 0 & 1 & 4\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Como X é triangular com 1’s na diagonal, seu inverso é
X^{-1} =\begin{pmatrix} 1 & -2 & 4\\\\ 0 & 1 & -4\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

Polinômio característico: \det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda).
Autovalores: \lambda_1=1, \lambda_2=2, \lambda_3=3.
Autovetores:
v_1=(1,0,0)^T,\quad v_2=(2,1,0)^T,\quad v_3=(4,4,1)^T.
Sim, A é diagonalizável com
X=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\\\ 0 & 1 & 4\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad X^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 4\\\\ 0 & 1 & -4\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix},
tendo A = XDX^{-1}.

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