Considere as afirmaçōes abaixo, caso a afirmação seja verdadeira, demonstre. Caso seja falsa, apresente um contra exemplo.
O conjunto W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+2 y-4 z=0\right\} é um subespaço do \mathbb{R}^{3} com uma base dada por \{(-2,1,0),(4,0,1)\}.

Passo 1

O enunciado define
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+2y-4z=0\}
e afirma que W é subespaço de \mathbb{R}^3 com base \{(-2,1,0),(4,0,1)\}.
Para resolver isso precisamos (i) mostrar que W é de fato um subespaço e (ii) verificar que os vetores dados estão em W, são linearmente independentes e geram todo \,W.

Passo 2

Mostrando que W é subespaço de \mathbb{R}^3:
  1. O vetor nulo (0,0,0) satisfaz
0 + 2\cdot0 - 4\cdot0 = 0,
logo (0,0,0)\in W.
2. Se (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) estão em W, então
x_1+2y_1-4z_1 = 0 \quad\text{e}\quad x_2+2y_2-4z_2 = 0.
Para a soma vale
(x_1+x_2)+2(y_1+y_2)-4(z_1+z_2) =(x_1+2y_1-4z_1)+(x_2+2y_2-4z_2)=0,
logo a soma está em W.
3. Para escalar, se (x,y,z)\in W e \lambda\in\mathbb{R},
\lambda x + 2(\lambda y) - 4(\lambda z) =\lambda\,(x+2y-4z)=\lambda\cdot0=0,
logo \lambda(x,y,z)\in W.
Isso prova que W é subespaço.

Passo 3

Verificando que os vetores dados estão em W:
  1. Para v_1 = (-2,1,0):
(-2) + 2\cdot1 - 4\cdot0 = -2 + 2 = 0,
logo v_1\in W.
2. Para v_2 = (4,0,1):
4 + 2\cdot0 - 4\cdot1 = 4 - 4 = 0,
logo v_2\in W.

Passo 4

Mostrando que v_1 e v_2 são linearmente independentes:
Suponha
a\,v_1 + b\,v_2 = (0,0,0).
Isso dá o sistema
-2a + 4b = 0, \quad a = 0, \quad b = 0.
Da segunda e terceira coordenadas obtemos a=0 e b=0. Logo são independentes.

Passo 5

Mostrando que \{v_1,v_2\} gera W:
Se (x,y,z)\in W, então x+2y-4z=0 implica
x = -2y + 4z.
Logo
(x,y,z) = (-2y+4z,\,y,\,z) = y\,(-2,1,0) + z\,(4,0,1) = y\,v_1 + z\,v_2.
Assim todo vetor de W é combinação linear de v_1 e v_2, ou seja, eles geram W. Como são 2 vetores independentes num subespaço de dimensão 2, formam uma base.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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