Considere as afirmaçōes abaixo, caso a afirmação seja verdadeira, demonstre. Caso seja falsa, apresente um contra exemplo.
O conjunto
é um subespaço do
com uma base dada por
.
O conjunto
Passo 1
O enunciado define
e afirma que
é subespaço de
com base
.
Para resolver isso precisamos (i) mostrar que é de fato um subespaço e (ii) verificar que os vetores dados estão em
, são linearmente independentes e geram todo
.
Para resolver isso precisamos (i) mostrar que
Passo 2
Mostrando que
é subespaço de
:
- O vetor nulo
satisfaz
logo
.
2. Se e
estão em
, então
2. Se
Para a soma vale
logo a soma está em
.
3. Para escalar, se e
,
3. Para escalar, se
logo
.
Isso prova que é subespaço.
Isso prova que
Passo 3
Verificando que os vetores dados estão em
:
- Para
:
logo
.
2. Para :
2. Para
logo
.
Passo 4
Mostrando que
e
são linearmente independentes:
Suponha
Suponha
Isso dá o sistema
Da segunda e terceira coordenadas obtemos
e
. Logo são independentes.
Passo 5
Mostrando que
gera
:
Se , então
implica
Se
Logo
Assim todo vetor de
é combinação linear de
e
, ou seja, eles geram
. Como são 2 vetores independentes num subespaço de dimensão 2, formam uma base.
Resposta
A afirmação é verdadeira.