Considere as afirmaçōes abaixo, caso a afirmação seja verdadeira, demonstre. Caso seja falsa, apresente um contra exemplo.
Sejam \beta=\{(1,0),(0,1)\}, \beta^{\prime}=\{(3,-1),(2,0)\} bases ordenadas de \mathbb{R}^{2} então a matriz de mudança de base de \beta^{\prime} para \beta é \left[\begin{array}{rl}3 & 2 \\\\ -1 & 0\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá duas bases ordenadas de \mathbb{R}^2:
\beta=\{(1,0),(0,1)\} (a base canônica) e
\beta'=\{(3,-1),(2,0)\}.
Pede-se a matriz de mudança de base de \beta' para \beta.
Para resolver, vamos usar a definição de matriz de mudança de base: se
P_{\beta\leftarrow\beta'}
é a matriz tal que para todo vetor v vale
[v]_{\beta} = P_{\beta\leftarrow\beta'}\,[v]_{\beta'},
então as colunas de P_{\beta\leftarrow\beta'} são exatamente as coordenadas dos vetores de \beta' expressos na base \beta.

Passo 2

Como \beta é a base canônica, as coordenadas de um vetor em \beta são exatamente as suas componentes usuais. Logo, para cada vetor de \beta' basta copiar suas componentes:
  • O primeiro vetor de \beta' é (3,-1), cujas coordenadas em \beta são \bigl(3,-1\bigr).
  • O segundo vetor de \beta' é (2,0), cujas coordenadas em \beta são \bigl(2,0\bigr).

Passo 3

Montamos então a matriz P_{\beta\leftarrow\beta'} colocando essas coordenadas como colunas, na mesma ordem da base \beta':
P_{\beta\leftarrow\beta'} = \begin{pmatrix} 3 & 2\\\\ -1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Como essa é exatamente a matriz dada no enunciado, concluímos que a afirmação é verdadeira.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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