Considere as afirmaçōes abaixo, caso a afirmação seja verdadeira, demonstre. Caso seja falsa, apresente um contra exemplo.
Sejam \beta=\{(1,0),(0,1)\}, \beta^{\prime}=\{(3,-1),(2,0)\} bases ordenadas de \mathbb{R}^{2} então a matriz de mudança de base de \beta^{\prime} para \beta é \left[\begin{array}{rl}3 & 2 \\\\ -1 & 0\end{array}\right].
Passo 1
O enunciado dá duas bases ordenadas de \mathbb{R}^2: \beta=\{(1,0),(0,1)\} (a base canônica) e \beta'=\{(3,-1),(2,0)\}.
Pede-se a matriz de mudança de base de \beta' para \beta.
Para resolver, vamos usar a definição de matriz de mudança de base: se
então as colunas de P_{\beta\leftarrow\beta'} são exatamente as coordenadas dos vetores de \beta' expressos na base \beta.
Passo 2
Como \beta é a base canônica, as coordenadas de um vetor em \beta são exatamente as suas componentes usuais. Logo, para cada vetor de \beta' basta copiar suas componentes:
O primeiro vetor de \beta' é (3,-1), cujas coordenadas em \beta são \bigl(3,-1\bigr).
O segundo vetor de \beta' é (2,0), cujas coordenadas em \beta são \bigl(2,0\bigr).
Passo 3
Montamos então a matriz P_{\beta\leftarrow\beta'} colocando essas coordenadas como colunas, na mesma ordem da base \beta':