( 2,5 pontos) Considere o subespaço H do \mathbb{R}^{4} gerado pelos vetores v_{1}=(1,0,-3,2), v_{2}=(0,1,2,-3), v_{3}=(-3,-4,1,6), v_{4}=(1,-3,-8,7) e v_{5}=(2,1,-6,9).
(a) (1 ponto) O vetor (1,2,3,4) \in H=\left[v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}, v_{5}\right] ? Por que?
(b) (1,2 pontos) Encontre uma base para H=\left[v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}, v_{5}\right]. Justifique.
(c) (0,3 pontos ) H=\mathbb{R}^{4} ? Por que?

Passo 1

O enunciado considera o subespaço
H = \mathrm{span}\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5}\}\subset\mathbb{R}^4,
com
v_{1}=(1,0,-3,2),\;v_{2}=(0,1,2,-3),\;v_{3}=(-3,-4,1,6),\;v_{4}=(1,-3,-8,7),\;v_{5}=(2,1,-6,9),
e pergunta:
(a) o vetor b=(1,2,3,4) pertence a H?
(b) encontre uma base de H.
(c) H=\mathbb{R}^4?
Para responder vamos usar sistemas lineares e eliminação de Gauss para testar dependência linear e resolução de combinações lineares.

Passo 2

Testamos se existe \lambda_{1},\dots,\lambda_{5} tais que
\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}+\lambda_{3}v_{3}+\lambda_{4}v_{4}+\lambda_{5}v_{5}=b.
Formamos o sistema aumentado cuja matriz é
\bigl[v_{1}\;v_{2}\;v_{3}\;v_{4}\;v_{5}\;\big|\;b\bigr] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 & 1 & 2 & 1\\\\ 0 & 1 & -4 & -3 & 1 & 2\\\\ -3 & 2 & 1 & -8 & -6 & 3\\\\ 2 & -3 & 6 & 7 & 9 & 4 \end{pmatrix}
e aplicamos eliminação de Gauss. O resultado final apresenta uma linha
(0\;0\;0\;0\;0\mid 16),
ou seja, 0=16, inconsistência. Logo não existem coeficientes que gerem b, e portanto
b\notin H.

Passo 3

Para achar uma base de H basta determinar um conjunto de vetores independentes que gere o mesmo espaço. Reduzimos a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 & 1 & 2\\\\ 0 & 1 & -4 & -3 & 1\\\\ -3 & 2 & 1 & -8 & -6\\\\ 2 & -3 & 6 & 7 & 9 \end{pmatrix}
por eliminação de Gauss (sem a coluna de b) e identificamos pivôs nas colunas 1, 2 e 4. Assim as colunas correspondentes a v_{1},v_{2},v_{4} são linearmente independentes e geram todas as outras. Podemos ainda verificar que
v_{3}=-3v_{1}-4v_{2},\quad v_{5}=4v_{1}-5v_{2}-2v_{4},
então
\{\,v_{1},v_{2},v_{4}\}
é uma base de H.

Passo 4

Como encontramos \dim H=3 (três vetores na base) e \dim\mathbb{R}^4=4, segue que
H\neq\mathbb{R}^4.

Resposta

(a) Não, pois o sistema aumentado é inconsistente.
(b) Uma base de H é \{v_{1},v_{2},v_{4}\}.
(c) Não, porque \dim H=3<4=\dim\mathbb{R}^4.

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