( 2,5 pontos) Considere o subespaço H do \mathbb{R}^{4} gerado pelos vetores v_{1}=(1,0,-3,2), v_{2}=(0,1,2,-3), v_{3}=(-3,-4,1,6), v_{4}=(1,-3,-8,7) e v_{5}=(2,1,-6,9).
(a) (1 ponto) O vetor (1,2,3,4) \in H=\left[v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}, v_{5}\right] ? Por que?
(b) (1,2 pontos) Encontre uma base para H=\left[v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}, v_{5}\right]. Justifique.
(c) (0,3 pontos ) H=\mathbb{R}^{4} ? Por que?
Passo 1
O enunciado considera o subespaço
H = \mathrm{span}\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5}\}\subset\mathbb{R}^4,
e pergunta:
(a) o vetor b=(1,2,3,4) pertence a H?
(b) encontre uma base de H.
(c) H=\mathbb{R}^4?
Para responder vamos usar sistemas lineares e eliminação de Gauss para testar dependência linear e resolução de combinações lineares.
Passo 2
Testamos se existe \lambda_{1},\dots,\lambda_{5} tais que
por eliminação de Gauss (sem a coluna de b) e identificamos pivôs nas colunas 1, 2 e 4. Assim as colunas correspondentes a v_{1},v_{2},v_{4} são linearmente independentes e geram todas as outras. Podemos ainda verificar que