( 1,5 pontos) Seja V um espaço vetorial. Suponhamos que exista um número finito de vetores v_{1}, \ldots, v_{r} de V que gerem V. Demonstre que V é de dimensão finita.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial e que existe uma lista finita de vetores \{v_{1},\dots,v_{r}\} cuja combinação linear gera todo o espaço, isto é,
\Span\{v_{1},\dots,v_{r}\}=V.
Queremos provar que V possui uma base finita, ou seja, que sua dimensão é um número inteiro finito. Para isso, vamos usar a ideia de extrair de um gerador finito um subconjunto que seja uma base de V.

Passo 2

Começamos examinando se \{v_{1},\dots,v_{r}\} já é uma base. Lembrando que uma base é um conjunto que gera V e é linearmente independente. Se \{v_{1},\dots,v_{r}\} for linearmente independente, então ela é base de V e tem exatamente r vetores, logo \dim V\le r e está demonstrado que a dimensão é finita.

Passo 3

Caso contrário, se \{v_{1},\dots,v_{r}\} for linearmente dependente, existe pelo menos um índice i tal que
v_{i} \;=\;\sum_{j\neq i} \lambda_{j}\,v_{j}
para alguns escalares \lambda_{j}. Isso mostra que o vetor v_{i} é redundante para gerar V. Logo, o conjunto
\{v_{1},\dots,v_{i-1},v_{i+1},\dots,v_{r}\}
ainda gera V, pois qualquer combinação que usasse v_{i} pode ser reescrita usando os outros.

Passo 4

O argumento do Passo 3 pode ser repetido sempre que o conjunto atual for linearmente dependente: em cada etapa, se houver dependência, retiramos um vetor redundante sem afetar o espaço gerado. Como começamos com r vetores e a cada remoção diminuímos esse número em pelo menos 1, o processo termina em, no máximo, r remoções.

Passo 5

Quando o processo terminar, restará um subconjunto \{w_{1},\dots,w_{k}\} que gera V e é linearmente independente. Por definição, esse subconjunto é uma base de V contendo k\le r vetores. Portanto \dim V = k é finito.

Resposta

Mostramos que a partir de qualquer gerador finito de V se extrai uma base também finita. Assim, \dim V é finita.

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