( 1,5 pontos) Seja
um espaço vetorial. Suponhamos que exista um número finito de vetores
de
que gerem
. Demonstre que
é de dimensão finita.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial e que existe uma lista finita de vetores
cuja combinação linear gera todo o espaço, isto é,
Queremos provar que
possui uma base finita, ou seja, que sua dimensão é um número inteiro finito. Para isso, vamos usar a ideia de extrair de um gerador finito um subconjunto que seja uma base de
.
Passo 2
Começamos examinando se
já é uma base. Lembrando que uma base é um conjunto que gera
e é linearmente independente. Se
for linearmente independente, então ela é base de
e tem exatamente
vetores, logo
e está demonstrado que a dimensão é finita.
Passo 3
Caso contrário, se
for linearmente dependente, existe pelo menos um índice
tal que
para alguns escalares
. Isso mostra que o vetor
é redundante para gerar
. Logo, o conjunto
ainda gera
, pois qualquer combinação que usasse
pode ser reescrita usando os outros.
Passo 4
O argumento do Passo 3 pode ser repetido sempre que o conjunto atual for linearmente dependente: em cada etapa, se houver dependência, retiramos um vetor redundante sem afetar o espaço gerado. Como começamos com
vetores e a cada remoção diminuímos esse número em pelo menos 1, o processo termina em, no máximo,
remoções.
Passo 5
Quando o processo terminar, restará um subconjunto
que gera
e é linearmente independente. Por definição, esse subconjunto é uma base de
contendo
vetores. Portanto
é finito.
Resposta
Mostramos que a partir de qualquer gerador finito de
se extrai uma base também finita. Assim,
é finita.