Considere as afirmações:
Dado que \mathrm{f}(\mathrm{x}) é uma função que pertence dos reais e que f^{-1}(x) é a sua inversa, elas sempre irćo se interceptar em \mathrm{y}=\mathrm{x}

Passo 1

O enunciado dá:
  • Uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}.
  • A sua inversa f^{-1}.
    A afirmação a avaliar é: "As curvas y=f(x) e y=f^{-1}(x) sempre irão se interceptar em y=x".
    Pergunta concreta que vamos responder: isso é verdade sempre, ou há contraexemplos? Quais pontos de interseção podem ocorrer entre os gráficos de f e f^{-1}?

Passo 2

Definições básicas e propriedade útil (devagar e simples).
  • A inversa f^{-1} satisfaz, por definição, que para todo x do domínio apropriado,
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x \qquad\text{e}\qquad f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=x.
  • Interpretação geométrica: se um ponto (a,b) está no gráfico de f (ou seja, b=f(a)), então o ponto (b,a) está no gráfico de f^{-1} (porque a=f^{-1}(b)). Ou seja, o gráfico de f^{-1} é a reflexão do gráfico de f em relação à reta y=x.

Passo 3

Caracterizar pontos de interseção entre os dois gráficos.
Um ponto (x,y) está simultaneamente nos gráficos de f e f^{-1} se e somente se
y=f(x) \qquad\text{e}\qquad y=f^{-1}(x).
Isso é equivalente a
f(x)=f^{-1}(x).
Aplicando f em ambos os lados dessa igualdade temos
f\bigl(f(x)\bigr)=f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x,
ou seja, qualquer abscissa x de um ponto de interseção satisfaz
f\bigl(f(x)\bigr)=x.
Interpretação simples e útil:
  • Se f(x)=x (isto é, x é um ponto fixo de f), então claramente (x,x) pertence ao gráfico de f e, por reflexão, também ao gráfico de f^{-1}. Logo pontos fixos produzem interseções sobre a reta y=x.
  • Mas nem toda solução de f(f(x))=x precisa ter f(x)=x. Pode haver ciclos de período 2: f(x)=y e f(y)=x com y\neq x. Nesses casos (x,y) está na interseção e y\neq x (ou seja, a interseção pode ocorrer fora da reta y=x).

Passo 4

Contraexemplo que mostra que a afirmação "sempre irão se interceptar em y=x" é falsa.
Considere a função
f(x)=x+1,
que é bijetora em \mathbb{R}. Sua inversa é
f^{-1}(x)=x-1.
Procuramos pontos de interseção resolvendo f(x)=f^{-1}(x):
x+1 = x-1 \quad\Rightarrow\quad 1=-1,
contradição. Portanto não existe x tal que f(x)=f^{-1}(x): os gráficos de y=f(x) e y=f^{-1}(x) não se interceptam em nenhum ponto — em particular, não há interseção sobre y=x. Assim a afirmação é falsa.

Passo 5

Exemplos que mostram os casos possíveis (para fixar na prova):
  • Exemplo onde há interseção em y=x: f(x)=x. Aqui todo ponto é fixo e toda reta é igual à sua inversa; interseção óbvia em y=x. Mais realista: f(x)=x^3 tem f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}; resolver x^3=x x\in\{-1,0,1\}, então há interseções em ( -1,-1),(0,0),(1,1).
  • Exemplo onde há interseção fora de y=x: funções involutivas, isto é, f(f(x))=x mas f(x)\ne x para muitos x. Por exemplo f(x)=-x tem f^{-1}=f, então os gráficos coincidem e há muitos pontos de interseção que não estão em y=x (só o ponto (0,0) está em y=x).
  • Exemplo sem interseção: f(x)=x+1 (já mostrado).
Dica prática para a prova: para testar interseção entre y=f(x) e y=f^{-1}(x) resolva
f(x)=f^{-1}(x),
ou equivalentemente
f\bigl(f(x)\bigr)=x.
Se quiser interseções especificamente sobre y=x, resolva f(x)=x (pontos fixos).

Resposta

Falso.

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