Considere as afirmações:
Dado que
é uma função que pertence dos reais e que
é a sua inversa, elas sempre irćo se interceptar em
Dado que
Passo 1
O enunciado dá:
- Uma função
. - A sua inversa
.
A afirmação a avaliar é: "As curvase sempre irão se interceptar em ".
Pergunta concreta que vamos responder: isso é verdade sempre, ou há contraexemplos? Quais pontos de interseção podem ocorrer entre os gráficos dee ?
Passo 2
Definições básicas e propriedade útil (devagar e simples).
- A inversa
satisfaz, por definição, que para todo do domínio apropriado,
- Interpretação geométrica: se um ponto
está no gráfico de (ou seja, ), então o ponto está no gráfico de (porque ). Ou seja, o gráfico de é a reflexão do gráfico de em relação à reta .
Passo 3
Caracterizar pontos de interseção entre os dois gráficos.
Um ponto está simultaneamente nos gráficos de
e
se e somente se
Um ponto
Isso é equivalente a
Aplicando
em ambos os lados dessa igualdade temos
ou seja, qualquer abscissa
de um ponto de interseção satisfaz
Interpretação simples e útil:
- Se
(isto é, é um ponto fixo de ), então claramente pertence ao gráfico de e, por reflexão, também ao gráfico de . Logo pontos fixos produzem interseções sobre a reta . - Mas nem toda solução de
precisa ter . Pode haver ciclos de período 2: e com . Nesses casos está na interseção e (ou seja, a interseção pode ocorrer fora da reta ).
Passo 4
Contraexemplo que mostra que a afirmação "sempre irão se interceptar em
" é falsa.
Considere a função
Considere a função
que é bijetora em
. Sua inversa é
Procuramos pontos de interseção resolvendo
:
contradição. Portanto não existe
tal que
: os gráficos de
e
não se interceptam em nenhum ponto — em particular, não há interseção sobre
. Assim a afirmação é falsa.
Passo 5
Exemplos que mostram os casos possíveis (para fixar na prova):
- Exemplo onde há interseção em
: . Aqui todo ponto é fixo e toda reta é igual à sua inversa; interseção óbvia em . Mais realista: tem ; resolver dá , então há interseções em . - Exemplo onde há interseção fora de
: funções involutivas, isto é, mas para muitos . Por exemplo tem , então os gráficos coincidem e há muitos pontos de interseção que não estão em (só o ponto está em ). - Exemplo sem interseção:
(já mostrado).
Dica prática para a prova: para testar interseção entre
e
resolva
ou equivalentemente
Se quiser interseções especificamente sobre
, resolva
(pontos fixos).
Resposta
Falso.