Questão 1 (2 pt.). Escreva a contrária, a negação (colocada de forma tal que a negação apareça na frente de apenas proposições atômicas) e a contrapositiva da proposição “Se um número n é maior que zero, então n^{2} é maior que zero”. Justifique sua resposta. Qual delas é logicamente equivalente com a proposição original?

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a proposição condicional original: “Se um número n é maior que zero, então n^{2} é maior que zero”. Vou listar claramente o que se pede e as informações dadas:
  • Proposição original (a ser trabalhada): “Se um número n é maior que zero, então n^{2} é maior que zero”.
  • Pedidos:
    1. Escrever a contrária da proposição (ou seja, a proposição obtida trocando antecedente e consequente).
    2. Escrever a negação da proposição, mas de modo que a negação apareça apenas na frente de proposições atômicas (ou seja, empurrar as negações para dentro usando equivalências lógicas).
    3. Escrever a contrapositiva da proposição.
    4. Justificar as respostas e dizer qual (ou quais) é(ão) logicamente equivalente(s) à proposição original.

Passo 2

Identifico proposições atômicas e escrevo a forma simbólica básica para trabalhar com lógica:
  • Seja P a proposição atômica “ \,n>0\,”.
  • Seja Q a proposição atômica “ \,n^{2}>0\,”.
A proposição original é então P\to Q, lida "se P então Q". Vou usar equivalências lógicas conhecidas para obter as outras formas pedidas.

Passo 3

A contrária (converse) de uma implicação P\to Q é a troca do antecedente com o consequente, isto é Q\to P.
  • Em palavras, a contrária é: "Se n^{2}>0, então n>0".
Justificação sobre equivalência: a contrária não é, em geral, logicamente equivalente à original. Um contra-exemplo concreto mostra isso: tome n=-1. Então \,n^{2}=1>0 (ou seja, Q é verdadeira) mas \,n>0 é falsa (ou seja, P é falsa). Para n=-1 a contrária Q\to P é falsa enquanto a original P\to Q é verdadeira (porque P é falsa e uma implicação com antecedente falso é verdadeira). Logo a contrária não é equivalente à proposição original.

Passo 4

Quero \neg(P\to Q) e, conforme pedido, colocar a negação apenas em frente de proposições atômicas (ou seja, eliminar a negação do conectivo \to e aplicar De Morgan quando preciso).
Usando equivalências lógicas padrão:
P\to Q \equiv \neg P \lor Q.
Portanto
\neg(P\to Q) \equiv \neg(\neg P \lor Q).
Aplicando De Morgan:
\neg(\neg P \lor Q) \equiv \neg(\neg P)\land \neg Q \equiv P\land \neg Q.
Agora volto das letras para as proposições sobre n: P é “ n>0” e \neg Q é “não ( n^{2}>0)”. Escrever a negação de n^{2}>0 diretamente na frente da atômica dá \,n^{2}\le 0 (ou, mais forte ainda, \,n^{2}=0, sabendo que \,n^{2}\ge0 sempre, mas manterei \,n^{2}\le0 como forma direta da negação).
Assim a negação da proposição, com as negações apenas em frente de atômicas, é:
  • Em símbolos: P\land \neg Q.
  • Em palavras: " n>0 e n^{2}\le 0".
Observação prática: essa conjunção é, na prática, impossível para qualquer número real n, porque se n>0 então n^{2}=n\cdot n>0\cdot n=0. Logo \neg(P\to Q) é sempre falsa (o que é coerente com a original ser verdadeira para todos os n reais).

Passo 5

A contrapositiva de P\to Q é \neg Q\to \neg P. Em palavras: “Se n^{2} não é maior que zero, então n não é maior que zero.”
Escrevendo com as atômicas colocadas:
  • \neg Q é n^{2}\le 0.
  • \neg P é n\le 0.
Logo a contrapositiva é: "Se n^{2}\le 0 então n\le 0", isto é simbolicamente (n^{2}\le 0)\to (n\le 0).
Justificação da equivalência lógica com a original: mostro a equivalência algébrica simples usando formas disjuntivas da implicação.
P\to Q \equiv \neg P \lor Q.
A contrapositiva é
\neg Q \to \neg P \equiv \neg(\neg Q) \lor \neg P \equiv Q \lor \neg P.
Como \neg P \lor Q e Q \lor \neg P são idênticas por comutatividade da disjunção, tem-se
P\to Q \equiv \neg Q \to \neg P.
Também se pode dar uma explicação intuitiva: se sempre que P vale então Q vale, então sempre que Q não vale não pode ser que P valha (pois então teríamos Q verdadeiro), logo \neg Q implica \neg P.
Portanto a contrapositiva é logicamente equivalente à proposição original.

Passo 6

  • A contrária (converse) Q\to P foi escrita e um contra-exemplo ( n=-1) mostra que não é equivalente à original.
  • A negação \neg(P\to Q) foi transformada em P\land \neg Q e, aplicada às atômicas, ficou " n>0 e n^{2}\le 0"; ela é a negação lógica da proposição original (logo não equivalente).
  • A contrapositiva \neg Q\to \neg P foi escrita como "Se n^{2}\le 0 então n\le 0" e foi provado que é logicamente equivalente à proposição original.

Resposta

Contrária: Se n^{2}>0, então n>0.
Negação (com negações apenas em atômicas): (n>0)\land (n^{2}\le 0).
Contrapositiva: Se n^{2}\le 0, então n\le 0.
Equivalentemente à proposição original: apenas a contrapositiva é logicamente equivalente.

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