Questão 1 (2 pt.). Escreva a contrária, a negação (colocada de forma tal que a negação apareça na frente de apenas proposições atômicas) e a contrapositiva da proposição “Se um número
é maior que zero, então
é maior que zero”. Justifique sua resposta. Qual delas é logicamente equivalente com a proposição original?
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a proposição condicional original: “Se um número
é maior que zero, então
é maior que zero”. Vou listar claramente o que se pede e as informações dadas:
- Proposição original (a ser trabalhada): “Se um número
é maior que zero, então é maior que zero”. - Pedidos:
- Escrever a contrária da proposição (ou seja, a proposição obtida trocando antecedente e consequente).
- Escrever a negação da proposição, mas de modo que a negação apareça apenas na frente de proposições atômicas (ou seja, empurrar as negações para dentro usando equivalências lógicas).
- Escrever a contrapositiva da proposição.
- Justificar as respostas e dizer qual (ou quais) é(ão) logicamente equivalente(s) à proposição original.
Passo 2
Identifico proposições atômicas e escrevo a forma simbólica básica para trabalhar com lógica:
- Seja
a proposição atômica “ ”. - Seja
a proposição atômica “ ”.
A proposição original é então
, lida "se
então
". Vou usar equivalências lógicas conhecidas para obter as outras formas pedidas.
Passo 3
A contrária (converse) de uma implicação
é a troca do antecedente com o consequente, isto é
.
- Em palavras, a contrária é: "Se
, então ".
Justificação sobre equivalência: a contrária não é, em geral, logicamente equivalente à original. Um contra-exemplo concreto mostra isso: tome
. Então
(ou seja,
é verdadeira) mas
é falsa (ou seja,
é falsa). Para
a contrária
é falsa enquanto a original
é verdadeira (porque
é falsa e uma implicação com antecedente falso é verdadeira). Logo a contrária não é equivalente à proposição original.
Passo 4
Quero
e, conforme pedido, colocar a negação apenas em frente de proposições atômicas (ou seja, eliminar a negação do conectivo
e aplicar De Morgan quando preciso).
Usando equivalências lógicas padrão:
Portanto
Aplicando De Morgan:
Agora volto das letras para as proposições sobre
:
é “
” e
é “não (
)”. Escrever a negação de
diretamente na frente da atômica dá
(ou, mais forte ainda,
, sabendo que
sempre, mas manterei
como forma direta da negação).
Assim a negação da proposição, com as negações apenas em frente de atômicas, é:
- Em símbolos:
. - Em palavras: "
e ".
Observação prática: essa conjunção é, na prática, impossível para qualquer número real
, porque se
então
. Logo
é sempre falsa (o que é coerente com a original ser verdadeira para todos os
reais).
Passo 5
A contrapositiva de
é
. Em palavras: “Se
não é maior que zero, então
não é maior que zero.”
Escrevendo com as atômicas colocadas:
-
é . -
é .
Logo a contrapositiva é: "Se
então
", isto é simbolicamente
.
Justificação da equivalência lógica com a original: mostro a equivalência algébrica simples usando formas disjuntivas da implicação.
A contrapositiva é
Como
e
são idênticas por comutatividade da disjunção, tem-se
Também se pode dar uma explicação intuitiva: se sempre que
vale então
vale, então sempre que
não vale não pode ser que
valha (pois então teríamos
verdadeiro), logo
implica
.
Portanto a contrapositiva é logicamente equivalente à proposição original.
Passo 6
- A contrária (converse)
foi escrita e um contra-exemplo ( ) mostra que não é equivalente à original. - A negação
foi transformada em e, aplicada às atômicas, ficou " e "; ela é a negação lógica da proposição original (logo não equivalente). - A contrapositiva
foi escrita como "Se então " e foi provado que é logicamente equivalente à proposição original.
Resposta
Contrária: Se
, então
.
Negação (com negações apenas em atômicas):
.
Contrapositiva: Se
, então
.
Equivalentemente à proposição original: apenas a contrapositiva é logicamente equivalente.