Considere as afirmações:
l. \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)=[\operatorname{cossec}(x)+\operatorname{cotg}(x)]^{-1} ; x \in(0 ; 2 \pi)

Passo 1

Vamos entender exatamente o que o enunciado dá e o que pede. A afirmação é:
\operatorname{tg}\!\left(\frac{x}{2}\right)=\big[\operatorname{cossec}(x)+\operatorname{cotg}(x)\big]^{-1}, \qquad x\in(0;2\pi).
Informações relevantes:
  • A expressão à esquerda é \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{x}{2}\right) (ou seja, \tan\!\left(\dfrac{x}{2}\right)).
  • A expressão à direita é \big[\operatorname{cossec}(x)+\operatorname{cotg}(x)\big]^{-1} (ou seja, 1/(\csc x+\cot x)).
  • O enunciado parece afirmar que essa igualdade vale para todo x no intervalo (0,2\pi).
    O objetivo: verificar se essa identidade é verdadeira e, se houver restrições, explicitar onde ela vale.

Passo 2

Primeiro, lembrando definições básicas (para não deixar nada subentendido):
  • \operatorname{tg}(y)=\tan y=\dfrac{\sin y}{\cos y}.
  • \operatorname{cossec}(x)=\csc x=\dfrac{1}{\sin x} (definida só quando \sin x\neq0).
  • \operatorname{cotg}(x)=\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x} (definida só quando \sin x\neq0).
    Também precisamos de uma identidade de ângulo metade muito útil:
    se a=\dfrac{x}{2}, então
\sin x=2\sin a\cos a \qquad\text{e}\qquad 1+\cos x=2\cos^2 a.
Usando essas duas equalidades podemos escrever
\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{2\sin a\cos a}{2\cos^2 a}=\frac{\sin a}{\cos a}=\tan a=\tan\!\left(\frac{x}{2}\right).
Portanto já temos a identidade (válida sempre que as operações fizerem sentido)
\boxed{\tan\!\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}.}
Explicação curta: a segunda igualdade veio de dividir numerador e denominador por 2\cos^2 a; isso exige \cos a\neq0, mas, se \cos a=0, então \tan(a) já é indefinida — tudo consistente.

Passo 3

Agora simplifico a direita da afirmação dada:
\big[\operatorname{cossec}(x)+\operatorname{cotg}(x)\big]^{-1} = \frac{1}{\csc x+\cot x}.
Usando \csc x=\dfrac{1}{\sin x} e \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x},
\frac{1}{\csc x+\cot x} =\frac{1}{\dfrac{1}{\sin x}+\dfrac{\cos x}{\sin x}} =\frac{1}{\dfrac{1+\cos x}{\sin x}} =\frac{\sin x}{1+\cos x},
desde que \sin x\neq0 (para que \csc x e \cot x existam e a soma faça sentido).

Passo 4

Juntando os passos 2 e 3:
\tan\!\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin x}{1+\cos x} \qquad\text{e}\qquad \big[\csc x+\cot x\big]^{-1}=\frac{\sin x}{1+\cos x}.
Logo, quando ambos os lados estão definidos, eles são iguais. Ou seja, a identidade algébrica
\tan\!\left(\frac{x}{2}\right)=\big[\csc x+\cot x\big]^{-1}
é verdadeira sempre que as expressões existam — em particular precisamos de \sin x\neq0 (para a direita) e também \tan\!\left(\dfrac{x}{2}\right) estar definida (ou seja, \cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\neq0). Na prática, as condições coincidem: \sin x=0 ocorre em x=0,\pi,2\pi; no intervalo indicado (0,2\pi) a única ocorrência é x=\pi. Para x=\pi temos \sin\pi=0 e \cos\pi=-1, então a expressão da direita não existe e a da esquerda também está indefinida ( \tan(\pi/2) não existe). Portanto a igualdade vale para todo x\in(0,2\pi) exceto x=\pi.

Passo 5

Interpretação final: a declaração tal como escrita — "a igualdade vale para x\in(0;2\pi)" — sugere que vale para todo x nesse intervalo sem exceção. Isso é impreciso porque em x=\pi as duas expressões não estão definidas. Portanto, como afirmação universal sobre todo o intervalo ela é tecnicamente falsa; corrigindo a precisão, a igualdade é válida para todo x\in(0,2\pi) com x\neq\pi.

Resposta

Falsa — a identidade é válida para todo x\in(0,2\pi) com x\neq\pi.

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