Considere as afirmações:
l.
l.
Passo 1
Vamos entender exatamente o que o enunciado dá e o que pede. A afirmação é:
Informações relevantes:
- A expressão à esquerda é
(ou seja, ). - A expressão à direita é
(ou seja, ). - O enunciado parece afirmar que essa igualdade vale para todo
no intervalo .
O objetivo: verificar se essa identidade é verdadeira e, se houver restrições, explicitar onde ela vale.
Passo 2
Primeiro, lembrando definições básicas (para não deixar nada subentendido):
-
. -
(definida só quando ). -
(definida só quando ).
Também precisamos de uma identidade de ângulo metade muito útil:
se, então
Usando essas duas equalidades podemos escrever
Portanto já temos a identidade (válida sempre que as operações fizerem sentido)
Explicação curta: a segunda igualdade veio de dividir numerador e denominador por
; isso exige
, mas, se
, então
já é indefinida — tudo consistente.
Passo 3
Agora simplifico a direita da afirmação dada:
Usando
e
,
desde que
(para que
e
existam e a soma faça sentido).
Passo 4
Juntando os passos 2 e 3:
Logo, quando ambos os lados estão definidos, eles são iguais. Ou seja, a identidade algébrica
é verdadeira sempre que as expressões existam — em particular precisamos de
(para a direita) e também
estar definida (ou seja,
). Na prática, as condições coincidem:
ocorre em
; no intervalo indicado
a única ocorrência é
. Para
temos
e
, então a expressão da direita não existe e a da esquerda também está indefinida (
não existe). Portanto a igualdade vale para todo
exceto
.
Passo 5
Interpretação final: a declaração tal como escrita — "a igualdade vale para
" — sugere que vale para todo
nesse intervalo sem exceção. Isso é impreciso porque em
as duas expressões não estão definidas. Portanto, como afirmação universal sobre todo o intervalo ela é tecnicamente falsa; corrigindo a precisão, a igualdade é válida para todo
com
.
Resposta
Falsa — a identidade é válida para todo
com
.