INTEGRAL DE SUPERFÍCIE
a) Determine a área da parte do paraboloide
que está abaixo do plano
a) Determine a área da parte do paraboloide
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Integral de Superfície. A questão pede para determinar a área de uma parte específica de um paraboloide dado pela equação $ z = x^{2} + y^{2} $ que está abaixo do plano $ z = 25 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas em superfícies curvas, especificamente utilizando coordenadas polares para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, entendemos que queremos encontrar a área da parte do paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ que está abaixo do plano $ z = 25 $. Isso significa que estamos interessados nos pontos onde $ x^{2} + y^{2} \leq 25 $, pois para esses pontos, $ z $ será menor ou igual a 25.
Passo 3
Para calcular a área de uma superfície definida por $ z = f(x, y) $, usamos a fórmula da área de superfície:
Onde $ D $ é a região no plano $ xy $ sobre a qual estamos integrando. No nosso caso, $ D $ é o círculo $ x^{2} + y^{2} \leq 25 $.
Passo 4
Vamos encontrar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $:
Substituindo essas derivadas na fórmula da área, temos:
Passo 5
Para simplificar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde $ x = r\cos\theta $ e $ y = r\sin\theta $. Em coordenadas polares, a área diferencial $ dx , dy $ vira $ r , dr , d\theta $, e a expressão dentro da raiz se torna:
Assim, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a $ r $:
Fazendo uma substituição $ u = 1 + 4r^{2} $, então $ du = 8r , dr $ ou $ r , dr = \frac{du}{8} $. Os limites de integração mudam para $ u(0) = 1 $ e $ u(5) = 1 + 4 \times 25 = 101 $.
A integral se torna:
Passo 7
Agora, resolvemos a integral externa em relação a $ \theta $:
Multiplicando pelas constantes já obtidas:
Passo 8
Simplificando a expressão final:
Resposta
A área da parte do paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ que está abaixo do plano $ z = 25 $ é: