Considere as afirmativas abaixo:
I - Se B é diagonalizável, então B é simétrica.
II - Se C=C^{T}, então C é diagonalizável.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado nos dá duas afirmativas sobre matrizes reais e pede para classificar sua veracidade:
I – Se B é diagonalizável, então B é simétrica.
II – Se C = C^{T}, então C é diagonalizável.
O tema aqui é Álgebra Linear, especificamente critérios de diagonalização e propriedades de matrizes simétricas.

Passo 2

Definimos primeiro os conceitos:
– Uma matriz M\in\mathbb{R}^{n\times n} é dita diagonalizável se existe uma base de \mathbb{R}^n formada por autovetores de M. Equivalentemente, existe P invertível e diagonal D tais que M = P\,D\,P^{-1}.
– Uma matriz M\in\mathbb{R}^{n\times n} é simétrica se M = M^{T}. Pelo Teorema Espectral, toda matriz simétrica real admite uma diagonalização ortogonal, isto é, existe matriz ortogonal Q e diagonal real D tal que M = Q\,D\,Q^{T}.

Passo 3

Analisando a afirmativa I: “Se B é diagonalizável, então B é simétrica.”
Contraexemplo: considere
B = \begin{pmatrix}2 & 1\\\\ 0 & 3\end{pmatrix}.
Essa matriz tem autovalores 2 e 3 distintos, logo é diagonalizável (autovalores distintos implicam diagonalização). Porém B_{12}=1\neq0=B_{21}, então B\neq B^{T}; ou seja, B não é simétrica. Concluímos que I é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmativa II: “Se C=C^{T}, então C é diagonalizável.”
Isso é precisamente o conteúdo do Teorema Espectral para matrizes reais: toda matriz simétrica real é diagonalizável por uma matriz ortogonal, pois possui um sistema completo de autovetores ortonormais. Portanto II é verdadeira.

Resposta

(C) Apenas II é verdadeira.

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