Q18: Seja A uma matriz 2 \times 2 cujos autovalores são -7 e 9 associados, respectivamente, a \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.
Defina M=\left[\begin{array}{ll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}\end{array}\right]. A inversa de A pode ser expressa como:
(A) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{7} & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{9}\end{array}\right] M
(B) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}-7 & 0 \\\\ 0 & 9\end{array}\right] M^{-1}
(C) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}-7 & 0 \\\\ 0 & 9\end{array}\right] M
(D) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}7 & 0 \\\\ 0 & -9\end{array}\right] M
(E) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}7 & 0 \\\\ 0 & -9\end{array}\right] M^{-1}
(F) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{7} & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{9}\end{array}\right] M^{-1}
(G) Não sei

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A de ordem 2 cujos autovalores são -7 e 9, com autovetores \vec v_{1} e \vec v_{2}. Definimos
M = \bigl[\vec v_{1}\;\;\vec v_{2}\bigr]
e queremos escrever A^{-1} em função de M e de uma matriz diagonal.

Passo 2

Como A é diagonalizável por M, existe
D = \begin{pmatrix}-7 & 0 \\[6pt]0 & 9\end{pmatrix}
tal que
A = M\,D\,M^{-1}.
Invertendo, usa-se \bigl(MDM^{-1}\bigr)^{-1} = M\,D^{-1}\,M^{-1}.]

Passo 3

Basta calcular
D^{-1}=\begin{pmatrix}-7^{-1} & 0 \\[6pt]0 & 9^{-1}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{7} & 0 \\[6pt]0 & \tfrac{1}{9}\end{pmatrix}.
Logo
A^{-1} = M\,\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{7} & 0 \\[6pt]0 & \tfrac{1}{9}\end{pmatrix}\,M^{-1}.]

Resposta

(F)

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