Considere V o espaço vetorial de vetores reais de 3 coordenadas com as operações usuais. Verifique quais dos subconjuntos abaixo de V é um subespaço vetorial de V .
Todos vetores da forma ( a, 0,0 ).

Passo 1

Estamos em V=\mathbb{R}^3 com as operações usuais e queremos ver se o conjunto
S = \{(a,0,0)\mid a\in\mathbb{R}\}
é subespaço de V. Para isso, basta mostrar que (i) S não é vazio (tem o vetor zero), (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar se o vetor zero de V está em S. O vetor zero em \mathbb{R}^3 é (0,0,0). Como podemos escrever (0,0,0)=(a,0,0) com a=0, concluímos que (0,0,0)\in S.

Passo 3

Testar fechamento sob soma. Dados dois vetores genéricos em S,
v_1=(a_1,0,0),\quad v_2=(a_2,0,0),
temos
v_1+v_2=(a_1+a_2,\,0+0,\,0+0)=(a_1+a_2,0,0).
Como a_1+a_2\in\mathbb{R}, o resultado também está em S. Logo, S é fechado sob soma.

Passo 4

Testar fechamento sob multiplicação por escalar. Para \lambda\in\mathbb{R} e um vetor genérico em S,
v=(a,0,0),
temos
\lambda\,v=(\lambda a,\;\lambda\cdot 0,\;\lambda\cdot 0)=(\lambda a,0,0).
Como \lambda a\in\mathbb{R}, vemos que \lambda v\in S. Logo, S é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto S=\{(a,0,0)\mid a\in\mathbb{R}\} é um subespaço vetorial de V=\mathbb{R}^3.

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