Considere V o espaço vetorial de vetores reais de 3 coordenadas com as operações usuais. Verifique quais dos subconjuntos abaixo de V é um subespaço vetorial de V .
Todos vetores da forma (
).
Todos vetores da forma (
Passo 1
Estamos em
com as operações usuais e queremos ver se o conjunto
é subespaço de
. Para isso, basta mostrar que (i)
não é vazio (tem o vetor zero), (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificar se o vetor zero de
está em
. O vetor zero em
é
. Como podemos escrever
com
, concluímos que
.
Passo 3
Testar fechamento sob soma. Dados dois vetores genéricos em
,
temos
Como
, o resultado também está em
. Logo,
é fechado sob soma.
Passo 4
Testar fechamento sob multiplicação por escalar. Para
e um vetor genérico em
,
temos
Como
, vemos que
. Logo,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto
é um subespaço vetorial de
.