Considere V o espaço vetorial de vetores reais de 3 coordenadas com as operações usuais. Verifique quais dos subconjuntos abaixo de V é um subespaço vetorial de V .
Todos os vetores da forma ( a, 1,1 ).

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V = \mathbb{R}^3 com as operações usuais e pede para verificar se o subconjunto
S = \{(a,\,1,\,1)\mid a\in\mathbb{R}\}
é um subespaço de V. Para isso, vamos usar o teste de subespaço vetorial, que exige:
  1. O vetor zero de V pertence a S.
  2. S é fechado sob soma de vetores.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero de V, que é (0,0,0), pertence a S. Um vetor genérico de S tem a forma (a,1,1). Para haver (a,1,1)=(0,0,0) precisaríamos de
1 = 0\quad\text{e}\quad 1 = 0,
o que é impossível. Logo (0,0,0)\notin S.

Passo 3

Como o primeiro requisito (incluir o vetor zero) já falha, não precisamos checar os demais. Mas, por curiosidade, note que a soma de dois vetores em S, digamos (a,1,1) e (b,1,1), é
(a,1,1)+(b,1,1) = (a+b,\,2,\,2),
que não tem segunda e terceira componentes iguais a 1, logo também não está em S.

Resposta

O conjunto S = \{(a,1,1)\mid a\in\mathbb{R}\} não é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

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