Q16: Seja
uma matriz simétrica
e
a forma quadrática associada. Se o espectro de
é
, podemos afirmar que:
(A)
para todo
e existe
com
.
(B)
para todo
.
(C) existem
e
tais que
.
(D)
para todo
.
(E)
para todo
e existe
.
(F) Não sei
(A)
(B)
(C) existem
(D)
(E)
(F) Não sei
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz simétrica de dimensão
e que
é a forma quadrática associada a
. O espectro (conjunto de autovalores) de
é
. A pergunta é sobre o sinal de
.
Passo 2
Para matrizes simétricas, sabemos que existe uma base ortonormal de autovetores e que, escrevendo
em tal base, vale
em tal base, vale
onde
são os autovalores. Aqui todos os autovalores são positivos (
), logo cada termo
é
e estritamente
sempre que
. Para qualquer
há pelo menos um
, implicando
Resposta
(B)
para todo
.