Q16: Seja A uma matriz simétrica 5 \times 5 e f(\vec{v})=\vec{v}^{T} A \vec{v} a forma quadrática associada. Se o espectro de A é \{1,7,8\}, podemos afirmar que:
(A) f(\vec{v}) \leq 0 para todo \vec{v} e existe \vec{w} \neq \overrightarrow{0} com f(\vec{w})=0.
(B) f(\vec{v})>0 para todo \vec{v} \neq \overrightarrow{0}.
(C) existem \vec{v} e \vec{w} tais que f(\vec{v})<0<f(\vec{w}).
(D) f(\vec{v})<0 para todo \vec{v} \neq \overrightarrow{0}.
(E) f(\vec{v}) \geq 0 para todo \vec{v} e existe \vec{w} \neq \overrightarrow{0} \operatorname{com} f(\vec{w})=0.
(F) Não sei

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz simétrica de dimensão 5\times5 e que
f(\vec v)=\vec v^{T}A\vec v
é a forma quadrática associada a A. O espectro (conjunto de autovalores) de A é \{1,7,8\}. A pergunta é sobre o sinal de f(\vec v).

Passo 2

Para matrizes simétricas, sabemos que existe uma base ortonormal de autovetores e que, escrevendo
\vec v=\sum_i c_i\vec e_i
em tal base, vale
f(\vec v)=\vec v^{T}A\vec v =\sum_i \lambda_i c_i^2,
onde \lambda_i são os autovalores. Aqui todos os autovalores são positivos ( 1,7,8>0), logo cada termo \lambda_i c_i^2 é \ge0 e estritamente >0 sempre que c_i\neq0. Para qualquer \vec v\neq\vec 0 há pelo menos um c_i\neq0, implicando
f(\vec v)>0.

Resposta

(B) f(\vec{v})>0 para todo \vec{v}\neq\overrightarrow{0}.

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