Considere as afirmativas abaixo:
I -
é subespaço vetorial de dimensão 3.
II -
não é subespaço vetorial.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
I -
II -
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmativas sobre subconjuntos de
e pede que se avalie quais são verdadeiras:
- I:
é subespaço vetorial de dimensão 3. - II:
não é subespaço vetorial.
Informações relevantes dadas:
- Dois subconjuntos de
estão definidos por restrições entre coordenadas. - A pergunta é sobre a veracidade de cada afirmativa (se cada conjunto é ou não subespaço e, no caso de I, sobre a dimensão).
Passo 2
Definição útil (explicação didática): um conjunto
é subespaço vetorial se e só se:
- O vetor nulo
pertence a . -
é fechado para soma: se então . -
é fechado para multiplicação por escalar: se e então .
Também: o conjunto solução de uma equação linear homogênea (uma combinação linear igual a zero) é sempre um subespaço (é o núcleo de uma aplicação linear). Para encontrar a dimensão, uma maneira prática é parametrizar os vetores do subespaço e extrair uma base.
Passo 3
Análise da afirmativa I.
Defina
Observe que a condição
é equivalente à equação linear homogênea
Isso é uma única equação linear em quatro incógnitas, portanto
é o núcleo da forma linear
. Pelo fato de núcleo de aplicação linear ser subespaço, conclui-se que
é subespaço vetorial (mostrando as três propriedades explicitamente também é rápido: o vetor nulo satisfaz
; soma de dois vetores com coordenada
igual à coordenada
preserva essa igualdade; e multiplicar por escalar também preserva).
Para achar a dimensão, parametrizamos os vetores de
. Tome parâmetros
e escreva
Então um vetor genérico de
é
Os três vetores
geram
. Agora verificamos que são linearmente independentes: se
então pelas coordenadas obtemos o sistema
logo
,
,
. Portanto são independentes. Assim
é uma base de
e
Conclusão parcial: a afirmativa I é verdadeira.
Passo 4
Análise da afirmativa II.
Defina
Aqui a condição é um produto entre coordenadas:
. Um ponto importante (didático): a condição de subespaço exige propriedades lineares (fechamento por soma e por escalares). A expressão
não é uma combinação linear das coordenadas — é uma função bilinear não linear — e isso já suspeita que o conjunto não será fechado sob soma em geral.
Para provar que
não é subespaço basta dar um contraexemplo que mostra falha de fechamento para soma (ou para multiplicação por escalar). Considere os vetores
Verificamos que
pois em
temos
e
, então
. Também
pois em
temos
e
, então
. Porém a soma é
Nesse vetor temos
e
, portanto
ou seja
. Logo
não é fechado por soma e, portanto, não é subespaço vetorial.
Comentário adicional (didático): mesmo que o vetor nulo pertença a
, a falha de fechamento por soma já impede que seja subespaço. A razão conceitual é que a condição
define uma união de duas hipersuperfícies lineares (
ou
), e a união de subespaços em geral não é subespaço, a menos que uma contenha a outra.
Conclusão parcial: a afirmativa II é verdadeira (ela afirma que o conjunto não é subespaço, e isso foi mostrado).
Passo 5
Resumo final das verificações:
- I é verdadeira.
- II é verdadeira.
Resposta
(B) Todas são verdadeiras.