Considere as afirmativas abaixo:
I - \{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x=w\} é subespaço vetorial de dimensão 3.
II - \{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid z y=0\} não é subespaço vetorial.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado apresenta duas afirmativas sobre subconjuntos de \mathbb{R}^4 e pede que se avalie quais são verdadeiras:
  • I: \{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^{4}\mid x=w\} é subespaço vetorial de dimensão 3.
  • II: \{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^{4}\mid z\,y=0\} não é subespaço vetorial.
Informações relevantes dadas:
  • Dois subconjuntos de \mathbb{R}^4 estão definidos por restrições entre coordenadas.
  • A pergunta é sobre a veracidade de cada afirmativa (se cada conjunto é ou não subespaço e, no caso de I, sobre a dimensão).

Passo 2

Definição útil (explicação didática): um conjunto V\subseteq\mathbb{R}^n é subespaço vetorial se e só se:
  1. O vetor nulo (0,0,\dots,0) pertence a V.
  2. V é fechado para soma: se u,v\in V então u+v\in V.
  3. V é fechado para multiplicação por escalar: se u\in V e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in V.
Também: o conjunto solução de uma equação linear homogênea (uma combinação linear igual a zero) é sempre um subespaço (é o núcleo de uma aplicação linear). Para encontrar a dimensão, uma maneira prática é parametrizar os vetores do subespaço e extrair uma base.

Passo 3

Análise da afirmativa I.
Defina
S_1=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4\mid x=w\}.
Observe que a condição x=w é equivalente à equação linear homogênea
x-w=0.
Isso é uma única equação linear em quatro incógnitas, portanto S_1 é o núcleo da forma linear L(x,y,z,w)=x-w. Pelo fato de núcleo de aplicação linear ser subespaço, conclui-se que S_1 é subespaço vetorial (mostrando as três propriedades explicitamente também é rápido: o vetor nulo satisfaz 0=0; soma de dois vetores com coordenada x igual à coordenada w preserva essa igualdade; e multiplicar por escalar também preserva).
Para achar a dimensão, parametrizamos os vetores de S_1. Tome parâmetros \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} e escreva
x=\alpha,\qquad y=\beta,\qquad z=\gamma,\qquad w=\alpha.
Então um vetor genérico de S_1 é
(\alpha,\beta,\gamma,\alpha)=\alpha(1,0,0,1)+\beta(0,1,0,0)+\gamma(0,0,1,0).
Os três vetores
v_1=(1,0,0,1),\quad v_2=(0,1,0,0),\quad v_3=(0,0,1,0)
geram S_1. Agora verificamos que são linearmente independentes: se
a v_1 + b v_2 + c v_3 = (0,0,0,0)
então pelas coordenadas obtemos o sistema
(a,\,b,\,c,\,a)=(0,0,0,0),
logo a=0, b=0, c=0. Portanto são independentes. Assim \{v_1,v_2,v_3\} é uma base de S_1 e
\dim S_1 = 3.
Conclusão parcial: a afirmativa I é verdadeira.

Passo 4

Análise da afirmativa II.
Defina
S_2=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4\mid z\,y=0\}.
Aqui a condição é um produto entre coordenadas: z\cdot y=0. Um ponto importante (didático): a condição de subespaço exige propriedades lineares (fechamento por soma e por escalares). A expressão z\cdot y não é uma combinação linear das coordenadas — é uma função bilinear não linear — e isso já suspeita que o conjunto não será fechado sob soma em geral.
Para provar que S_2 não é subespaço basta dar um contraexemplo que mostra falha de fechamento para soma (ou para multiplicação por escalar). Considere os vetores
u=(0,1,0,0)\quad\text{e}\quad v=(0,0,1,0).
Verificamos que u\in S_2 pois em u temos y=1 e z=0, então z\,y=0\cdot 1=0. Também v\in S_2 pois em v temos y=0 e z=1, então z\,y=1\cdot 0=0. Porém a soma é
u+v=(0,1,1,0).
Nesse vetor temos y=1 e z=1, portanto
z\,y = 1\cdot 1 = 1 \neq 0,
ou seja u+v\notin S_2. Logo S_2 não é fechado por soma e, portanto, não é subespaço vetorial.
Comentário adicional (didático): mesmo que o vetor nulo pertença a S_2, a falha de fechamento por soma já impede que seja subespaço. A razão conceitual é que a condição zy=0 define uma união de duas hipersuperfícies lineares ( y=0 ou z=0), e a união de subespaços em geral não é subespaço, a menos que uma contenha a outra.
Conclusão parcial: a afirmativa II é verdadeira (ela afirma que o conjunto não é subespaço, e isso foi mostrado).

Passo 5

Resumo final das verificações:
  • I é verdadeira.
  • II é verdadeira.

Resposta

(B) Todas são verdadeiras.

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