Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é subespaço vetorial de
, então pode-se afirmar que
.
- Seja
. Se
for linearmente independente, então pode-se afirmar que
gera
.
(A) Todas sāo falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas sāo verdadeiras.
I - Se
(A) Todas sāo falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas sāo verdadeiras.
Passo 1
O enunciado envolve teoria de dimensão e geração em espaços vetoriais. Em I pergunta sobre a relação entre
e
quando
é subespaço de
. Em II fala de três vetores em
e quer saber se, dado que
é linearmente independente, então
gera
. Vamos usar:
- Teorema da dimensão de subespaços:
, com igualdade se e somente se . - Em
, dois vetores LI formam uma base (logo geram o espaço).
Passo 2
Analisando a afirmativa I: “Se
é subespaço vetorial de
, então
.” Pela teoria, sempre temos
mas a igualdade ocorre quando
. Portanto não é obrigatório que a desigualdade seja estrita; se
, então
. Logo I é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmativa II: seja
e suponha que
seja linearmente independente. Em
, qualquer conjunto de dois vetores LI é base de
, isto é, gera todo o espaço. Assim, adicionar
não retira a capacidade de geração;
gera
. Logo II é verdadeira.
Resposta
(C) Apenas II é verdadeira.