Considere as afirmativas abaixo:
I - Se H é subespaço vetorial de V, então pode-se afirmar que \operatorname{dim}(H)<\operatorname{dim}(V).
I I - Seja \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{2}. Se \left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\} for linearmente independente, então pode-se afirmar que \beta gera \mathbb{R}^{2}.
(A) Todas sāo falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas sāo verdadeiras.

Passo 1

O enunciado envolve teoria de dimensão e geração em espaços vetoriais. Em I pergunta sobre a relação entre \dim(H) e \dim(V) quando H é subespaço de V. Em II fala de três vetores em \mathbb{R}^2 e quer saber se, dado que \{\vec v_1,\vec v_2\} é linearmente independente, então \{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\} gera \mathbb{R}^2. Vamos usar:
  • Teorema da dimensão de subespaços: \dim(H)\le\dim(V), com igualdade se e somente se H=V.
  • Em \mathbb{R}^2, dois vetores LI formam uma base (logo geram o espaço).

Passo 2

Analisando a afirmativa I: “Se H é subespaço vetorial de V, então \dim(H)<\dim(V).” Pela teoria, sempre temos
\dim(H)\le\dim(V),
mas a igualdade ocorre quando H=V. Portanto não é obrigatório que a desigualdade seja estrita; se H=V, então \dim(H)=\dim(V). Logo I é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmativa II: seja \beta=\{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\}\subset\mathbb{R}^2 e suponha que \{\vec v_1,\vec v_2\} seja linearmente independente. Em \mathbb{R}^2, qualquer conjunto de dois vetores LI é base de \mathbb{R}^2, isto é, gera todo o espaço. Assim, adicionar \vec v_3 não retira a capacidade de geração; \beta gera \mathbb{R}^2. Logo II é verdadeira.

Resposta

(C) Apenas II é verdadeira.

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