Q1: Seja E_{p \times n} a forma totalmente escalonada da matriz
A_{m \times n} e sejam \vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{m} e \vec{w}_{1}, \ldots, \vec{w}_{p}, respectivamente, as linhas de A e de E :
A=\left[\begin{array}{c} -\vec{v}_{1}- \\\ \vdots \\\\ -\vec{v}_{m}- \end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{c} -\vec{w}_{1}- \\\ \vdots \\\\ -\vec{w}_{p}- \end{array}\right]=E
Assinale a unica afirmação FALSA:
(A) \operatorname{span}\left\{\vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{m}\right\} e span \left\{\vec{w}_{1}, \ldots, \vec{w}_{n}\right\} são iguais.
(B) Se \left\{\vec{w}_{1}, \ldots, \vec{w}_{n}\right\} e LI, então \left\{\vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{m}\right\} é LI.
(C) \left\{\vec{w}_{1}, \ldots, \vec{w}_{p}\right\} é LI.
(D) \left\{\vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{m}\right\} e LI se, e somente se, p=m.
(E) A dimensào de span \left\{\bar{v}_{1}, \ldots, \bar{v}_{m}\right\} é p.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A\in\mathbb{R}^{m\times n} cujas linhas são \vec v_{1},\dots,\vec v_{m} e sua forma escalonada por linhas E\in\mathbb{R}^{p\times n} com linhas \vec w_{1},\dots,\vec w_{p} (todas não nulas). Precisamos usar que operações elementares de linha não mudam o espaço-linha nem o posto, e que em forma escalonada as linhas não nulas são independentes.

Passo 2

Como operações de linha preservam o espaço linha,
\operatorname{span}\{\vec v_{1},\dots,\vec v_{m}\} =\operatorname{span}\{\vec w_{1},\dots,\vec w_{p}\}\,,
logo (A) é verdadeira. Além disso, a dimensão desse espaço (o posto de A) é o número de linhas não nulas de E, ou seja, p, o que confirma (E).

Passo 3

Na forma escalonada, cada \vec w_{i} tem um pivô em coluna distinta, garantindo que
\{\vec w_{1},\dots,\vec w_{p}\}
é LI. Logo (C) é verdadeira.

Passo 4

Sabemos que \dim\operatorname{span}\{\vec v_{1},\dots,\vec v_{m}\}=p. Para que \{\vec v_{1},\dots,\vec v_{m}\} seja LI, é necessário e suficiente ter m=p. Isso mostra que (D) é verdadeira.

Passo 5

A afirmação (B) afirma que, se \{\vec w_{1},\dots,\vec w_{p}\} é LI, então \{\vec v_{1},\dots,\vec v_{m}\} também é LI. Mas \{\vec w_i\} é sempre LI por construção, enquanto \{\vec v_j\} pode ser dependente sempre que m>p. Portanto (B) é a única falsa.

Resposta

(B)

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