Um sistema em 20 variáveis
(A) com 17 equações sempre tem infinitas soluções.
(B) homogêneo com 14 equações pode ter solução única.
(C) com 13 equações pode ter solução única.
(D) com 27 equaçôes pode ter solução única.
(E) com 25 equações nunca tem solução.
(A) com 17 equações sempre tem infinitas soluções.
(B) homogêneo com 14 equações pode ter solução única.
(C) com 13 equações pode ter solução única.
(D) com 27 equaçôes pode ter solução única.
(E) com 25 equações nunca tem solução.
Passo 1
O enunciado fala de um sistema linear com
variáveis e vários números
de equações, e quer saber quando ele pode ter solução única, infinitas soluções ou nenhuma. Vamos usar o Teorema de Rouché–Capelli e a ideia de posto (rank) da matriz dos coeficientes:
- O posto
satisfaz . - Num sistema homogêneo, a dimensão do espaço solução é
, que será positiva se . - Num sistema geral, ele é consistente se o posto da matriz aumentada for também
; daí: - Se
, há solução única. - Se
, há infinitas soluções. - Se o posto da aumentada
> , não há solução.
Passo 2
Quando o número de equações
, o posto satisfaz
, logo
.
- Num sistema homogêneo isso já garante
, ou seja, infinitas soluções. - Num sistema geral, mesmo se consistente, teremos
, então infinitas soluções.
Portanto, sempre que, única não é possível.
Passo 3
Analisando a alternativa (A): “com
equações sempre tem infinitas soluções.”
Se , de fato, se consistente dá infinitas soluções, mas pode ser inconsistente (posto da aumentada maior), aí não há solução. Logo “sempre” está errado. A é falsa.
Se
Passo 4
Alternativa (B): “homogêneo com
equações pode ter solução única.”
Para homogêneo é sempre consistente, mas com temos
, daí
. Logo sempre infinitas, não única. B é falsa.
Para homogêneo é sempre consistente, mas com
Passo 5
Alternativa (C): “com
equações pode ter solução única.”
Aqui não é homogêneo, mas o argumento de posto é o mesmo: implica
. Mesmo se consistente,
dá infinitas soluções. C é falsa.
Aqui não é homogêneo, mas o argumento de posto é o mesmo:
Passo 6
Alternativa (D): “com
equações pode ter solução única.”
Agora , o posto pode atingir
. Se o sistema for consistente e
, então há exatamente uma solução. D é verdadeira.
Agora
Passo 7
Alternativa (E): “com
equações nunca tem solução.”
Como em (D), com ainda é possível ter posto
e sistema consistente, gerando solução única. Não é “nunca” solvível. E é falsa.
Como em (D), com
Resposta
(D)