Um sistema em 20 variáveis
(A) com 17 equações sempre tem infinitas soluções.
(B) homogêneo com 14 equações pode ter solução única.
(C) com 13 equações pode ter solução única.
(D) com 27 equaçôes pode ter solução única.
(E) com 25 equações nunca tem solução.

Passo 1

O enunciado fala de um sistema linear com n=20 variáveis e vários números m de equações, e quer saber quando ele pode ter solução única, infinitas soluções ou nenhuma. Vamos usar o Teorema de Rouché–Capelli e a ideia de posto (rank) da matriz dos coeficientes:
  • O posto r satisfaz r\le\min(m,n).
  • Num sistema homogêneo, a dimensão do espaço solução é n-r, que será positiva se r<n.
  • Num sistema geral, ele é consistente se o posto da matriz aumentada for também r; daí:
  • Se r=n, há solução única.
  • Se r<n, há infinitas soluções.
  • Se o posto da aumentada > r, não há solução.

Passo 2

Quando o número de equações m<n, o posto satisfaz r\le m<n, logo r<n.
  • Num sistema homogêneo isso já garante \dim(\ker)=n-r>0, ou seja, infinitas soluções.
  • Num sistema geral, mesmo se consistente, teremos r<n, então infinitas soluções.
    Portanto, sempre que m<20, única não é possível.

Passo 3

Analisando a alternativa (A): “com 17 equações sempre tem infinitas soluções.”
Se m=17<20, de fato, se consistente dá infinitas soluções, mas pode ser inconsistente (posto da aumentada maior), aí não há solução. Logo “sempre” está errado. A é falsa.

Passo 4

Alternativa (B): “homogêneo com 14 equações pode ter solução única.”
Para homogêneo é sempre consistente, mas com m=14<20 temos r\le14, daí \dim(\ker)=20-r\ge6>0. Logo sempre infinitas, não única. B é falsa.

Passo 5

Alternativa (C): “com 13 equações pode ter solução única.”
Aqui não é homogêneo, mas o argumento de posto é o mesmo: m=13<20 implica r\le13<20. Mesmo se consistente, r<20 dá infinitas soluções. C é falsa.

Passo 6

Alternativa (D): “com 27 equações pode ter solução única.”
Agora m=27>20, o posto pode atingir r=20. Se o sistema for consistente e r=20, então há exatamente uma solução. D é verdadeira.

Passo 7

Alternativa (E): “com 25 equações nunca tem solução.”
Como em (D), com m=25>20 ainda é possível ter posto r=20 e sistema consistente, gerando solução única. Não é “nunca” solvível. E é falsa.

Resposta

(D)

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