Q4: Sabendo que para uma determinada matriz A_{2 \times 2}
  • (-2,0) é uma solução do sistema linear A \vec{x}=\overrightarrow{0} e
  • (5,1) é uma solução do sistema linear A \vec{x}=(-2,3),
    qual das alternativas abaixo é uma solução do sistema linear A \vec{x}=(-6,9) ?
    (A) (7,6)
    (B) (4,2)
    (C) (-4,7)
    (D) (5,3)
    (E) (7,5)
    (F) (-4,4)

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A\in\mathbb{R}^{2\times2} e pede uma solução de
A\vec x = (-6,9)
sabendo que (-2,0) satisfaz A\vec x=\vec0 e (5,1) satisfaz A\vec x = (-2,3). Vamos usar a linearidade de A e a estrutura do núcleo para achar todas as soluções.

Passo 2

Como (-2,0) satisfaz A\vec x=\vec0, temos
\ker(A)=\mathrm{span}\{(-2,0)\}.

Passo 3

De A(5,1)=(-2,3), pela linearidade segue
A\bigl(3\cdot(5,1)\bigr) =3\,A(5,1) =3\cdot(-2,3) =(-6,9).
Logo (15,3) é uma solução particular de A\vec x=(-6,9).

Passo 4

A solução geral de A\vec x=(-6,9) é
(15,3)+t\cdot(-2,0) =(15-2t,\;3),\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Das alternativas, só (5,3) tem segunda componente igual a 3 e pode ser escrito como
(15-2t,3) = (5,3)\implies 15-2t=5\implies t=5.

Resposta

(5,3)

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