Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
(\lambda) é autovalor de A, então
(\lambda^{2}) é autovalor de A^{2}.
II - Se
(\vec{v} \neq \overrightarrow{0}) pertence à imagem de A, então
(\vec{v}) é um autovetor de A.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado trata de duas afirmações sobre autovalores e autovetores de uma matriz A. O conteúdo principal é Álgebra Linear, mais especificamente a teoria de autovalores/autovetores e a relação entre A e A^2. Vamos examinar cada afirmação separadamente para decidir se é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Analisando a afirmação I – “Se \lambda é autovalor de A, então \lambda^{2} é autovalor de A^{2}”.
Suponha que \lambda seja autovalor de A com autovetor \vec{v}\neq\vec{0}. Então
A\vec{v}=\lambda\vec{v}.
Aplicando A novamente, obtemos
A^2\vec{v}=A\bigl(A\vec{v}\bigr)=A\bigl(\lambda\vec{v}\bigr)=\lambda\,A\vec{v}=\lambda\bigl(\lambda\vec{v}\bigr)=\lambda^2\vec{v}.
Isso mostra que \vec{v} é autovetor de A^2 associado a \lambda^2. Logo, a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmação II – “Se \vec{v}\neq\vec{0} pertence à imagem de A, então \vec{v} é um autovetor de A”.
Dizer que \vec{v} pertence à imagem de A significa que existe \vec{u} tal que
A\vec{u}=\vec{v}.
Para \vec{v} ser autovetor, precisaríamos de algum \mu tal que
A\vec{v}=\mu\vec{v}.
Em geral não há razão para que A(A\vec{u}) seja múltiplo de A\vec{u}. Por exemplo, considere
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad \vec{u}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix},
então \vec{v}=A\vec{u}=(1,0)^T pertence à imagem de A, mas
A\vec{v}=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}=\vec{v},
aqui deu sorte de ser múltiplo, mas se pegarmos \vec{u}=(0,1)^T obtemos \vec{v}=(1,1)^T e
A\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}
que não é múltiplo de (1,1)^T. Portanto, na imagem podem aparecer vetores que não são autovetores. Assim, a afirmação II é falsa.

Passo 4

Concluímos que apenas a afirmação I é verdadeira e a afirmação II é falsa.

Resposta

(B) Apenas I é verdadeira.

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