Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
(\lambda) é autovalor de
, então
(\lambda^{2}) é autovalor de
.
II - Se
(\vec{v} \neq \overrightarrow{0}) pertence à imagem de
, então
(\vec{v}) é um autovetor de
.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I - Se
(\lambda) é autovalor de
(\lambda^{2}) é autovalor de
II - Se
(\vec{v} \neq \overrightarrow{0}) pertence à imagem de
(\vec{v}) é um autovetor de
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado trata de duas afirmações sobre autovalores e autovetores de uma matriz
. O conteúdo principal é Álgebra Linear, mais especificamente a teoria de autovalores/autovetores e a relação entre
e
. Vamos examinar cada afirmação separadamente para decidir se é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Analisando a afirmação I – “Se
é autovalor de
, então
é autovalor de
”.
Suponha que seja autovalor de
com autovetor
. Então
Suponha que
Aplicando
novamente, obtemos
Isso mostra que
é autovetor de
associado a
. Logo, a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmação II – “Se
pertence à imagem de
, então
é um autovetor de
”.
Dizer que pertence à imagem de
significa que existe
tal que
Dizer que
Para
ser autovetor, precisaríamos de algum
tal que
Em geral não há razão para que
seja múltiplo de
. Por exemplo, considere
então
pertence à imagem de
, mas
aqui deu sorte de ser múltiplo, mas se pegarmos
obtemos
e
que não é múltiplo de
. Portanto, na imagem podem aparecer vetores que não são autovetores. Assim, a afirmação II é falsa.
Passo 4
Concluímos que apenas a afirmação I é verdadeira e a afirmação II é falsa.
Resposta
(B) Apenas I é verdadeira.