Encontre, caso exista, a inversa de cada uma das matrizes
\left[\begin{array}{ll}3 & 5 \\\\ 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz
M = \begin{pmatrix}3 & 5 \\[-6pt] 1 & 2\end{pmatrix}.
O conteúdo envolvido é “inversa de matriz 2\times2”: precisamos usar a fórmula que expressa a inversa em função do determinante e da matriz adjunta.]

Passo 2

Para uma matriz genérica
A = \begin{pmatrix}a & b \\[-4pt] c & d\end{pmatrix},
a inversa existe se
\det(A) = ad - bc \neq 0,
e nesse caso
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}d & -b \\[-4pt] -c & a\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculemos o determinante de M:
\det(M) = 3 \cdot 2 \;-\; 5 \cdot 1 \;=\; 6 - 5 \;=\; 1.
Como \det(M)=1\neq 0, a matriz M é invertível.

Passo 4

Formamos a matriz adjunta de M trocando os elementos da diagonal e mudando o sinal dos demais:
\mathrm{adj}(M) = \begin{pmatrix}2 & -5 \\[-4pt] -1 & 3\end{pmatrix}.
Logo, pela fórmula,
M^{-1} = \frac{1}{\det(M)}\,\mathrm{adj}(M) = \frac{1}{1}\begin{pmatrix}2 & -5 \\[-4pt] -1 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -5 \\[-4pt] -1 & 3\end{pmatrix}.]

Resposta

M^{-1} = \begin{pmatrix}2 & -5 \\[-4pt] -1 & 3\end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados