Encontre, caso exista, a inversa de cada uma das matrizes
\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\\\ -1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ -1 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
O conteúdo envolvido é o de determinante e invertibilidade de matrizes: uma matriz quadrada só tem inversa se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular \det(A) para decidir se a inversa existe.

Passo 2

Para calcular \det(A) usamos a expansão por cofactores na primeira linha (ou regra de Sarrus para 3\times3):
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\\\ 1 & 2\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\\\ 0 & 2\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & -1\\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\\\ 1 & 2\end{pmatrix} =(-1)\cdot2 - 1\cdot1 = -2 -1 = -3,
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\\\ 0 & 2\end{pmatrix} =(-1)\cdot2 - 1\cdot0 = -2,
\det\begin{pmatrix}-1 & -1\\\\ 0 & 1\end{pmatrix} =(-1)\cdot1 -(-1)\cdot0 = -1.
Substituindo:
\det(A) = 1\cdot(-3) - 2\cdot(-2) + 1\cdot(-1) = -3 +4 -1 = 0.

Passo 3

Como \det(A)=0, concluímos que A é singular e, portanto, não existe a matriz inversa de A.

Resposta

A inversa não existe, pois \det(A)=0.

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