Q9: Seja \left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}, \vec{v}_{4}\right\} uma base do \mathbb{R}^{4}. Se A é uma matriz 4 \times 4 tal que \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} são autovetores associados ao autovalor 6 e \vec{v}_{3} e \vec{v}_{4} são autovetores associados ao autovalor -1 , então o determinante de A vale:
(A) 6
(B) -6
(C) 36
(D) -36
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado diz que A tem base de autovetores \{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3,\vec v_4\} em \mathbb R^4, com autovalores
\lambda_1=\lambda_2=6 associados a \vec v_1,\vec v_2 e
\lambda_3=\lambda_4=-1 associados a \vec v_3,\vec v_4. Vamos usar a propriedade de matrizes diagonalizáveis:
\det(A)=\prod_{i=1}^{4}\lambda_i.

Passo 2

Como as multiplicidades dos autovalores são duas cada, temos
\det(A)=6\cdot6\cdot(-1)\cdot(-1)=36.

Resposta

(C) 36

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