Determine os planos que contém a reta
r:\left\{\begin{array}{r} x-2 y+2 z=0 \\\\ 3 x-5 y+7 z=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a reta r\) como \[r:\begin{cases} x-2y+2z=0,\\\\ 3x-5y+7z=0. \end{cases}
Conteúdo: geometria analítica de planos e interseção. Para achar todos os planos que contêm (r], aplicaremos o fato de que todo plano que passa pela interseção de dois planos pode ser obtido como combinação linear das equações desses dois planos.

Passo 2

Denotemos
P_{1}:x-2y+2z=0, \quad P_{2}:3x-5y+7z=0.
Como r=P_{1}\cap P_{2}, qualquer plano P que contenha r admite uma equação da forma
\lambda\,(x-2y+2z)+\mu\,(3x-5y+7z)=0
com (\lambda,\mu)\neq(0,0).

Passo 3

Distribuindo \lambda e \mu e agrupando termos em x,y,z, obtemos
(\lambda+3\mu)\,x+(-2\lambda-5\mu)\,y+(2\lambda+7\mu)\,z=0,
que é a forma geral de qualquer plano que contém r.

Resposta

A família de todos os planos que contém a reta r é
\lambda\,(x-2y+2z)+\mu\,(3x-5y+7z)=0,\quad(\lambda,\mu)\neq(0,0).

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