Q13: Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas saio verdadeiras.
(E) Não sei
I - Se
é uma projeção ortogonal em uma reta do
, entāo
.
II - Se
é uma reflexào em torno de um plano do
, então
.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas saio verdadeiras.
(E) Não sei
I - Se
II - Se
Passo 1
Resumindo, temos duas transformações lineares em
:
– é a projeção ortogonal numa reta.
– é a reflexão em torno de um plano.
Para avaliar cada afirmativa, usaremos que o determinante de uma transformação é o produto de seus autovalores.
–
–
Para avaliar cada afirmativa, usaremos que o determinante de uma transformação é o produto de seus autovalores.
Passo 2
Analisando I: como
projeta numa reta, seus autovalores são
Logo, os autovalores de
são
e portanto
Assim I é verdadeira.
Passo 3
Analisando II: uma reflexão
em torno de um plano tem autovalores
Assim, os autovalores de
são
todos não nulos, e
Portanto II também é verdadeira.
Passo 4
Como as duas afirmativas são verdadeiras, a resposta correta é a alternativa (D).
Resposta
(D)