Q13: Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas saio verdadeiras.
(E) Não sei
I - Se P é uma projeção ortogonal em uma reta do \mathbb{R}^{3}, entāo \operatorname{det}(P-I)=0.
II - Se T é uma reflexào em torno de um plano do \mathrm{R}^{3}, então \operatorname{det}(T+3 I) \neq 0.

Passo 1

Resumindo, temos duas transformações lineares em \mathbb{R}^3:
P é a projeção ortogonal numa reta.
T é a reflexão em torno de um plano.
Para avaliar cada afirmativa, usaremos que o determinante de uma transformação é o produto de seus autovalores.

Passo 2

Analisando I: como P projeta numa reta, seus autovalores são
\{1,\,0,\,0\}.
Logo, os autovalores de P - I são
\{1-1,\,0-1,\,0-1\} = \{0,\,-1,\,-1\},
e portanto
\det(P - I) = 0 \cdot (-1)\cdot(-1) = 0.
Assim I é verdadeira.

Passo 3

Analisando II: uma reflexão T em torno de um plano tem autovalores
\{1,\,1,\,-1\}.
Assim, os autovalores de T + 3I são
\{1+3,\,1+3,\,-1+3\} = \{4,\,4,\,2\},
todos não nulos, e
\det(T + 3I) = 4 \cdot 4 \cdot 2 = 32 \neq 0.
Portanto II também é verdadeira.

Passo 4

Como as duas afirmativas são verdadeiras, a resposta correta é a alternativa (D).

Resposta

(D)

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