Considere as afirmativas a seguir.
i. Toda equação separável é exata.
ii. Toda equação exata é separável.
iii. Toda equação linear é exata.
Qual das alternativas a seguir indica apenas todas as afirmativas verdadeiras?
(a) i.
© i. e ii.
(e) NDA
(b) ii.
(d) iii.

Passo 1

O enunciado apresenta três tipos de equações diferenciais ordinárias (EDOs): separáveis, exatas e lineares. A tarefa é verificar quais das afirmativas sobre a relação entre esses tipos são verdadeiras.

Passo 2

Para a afirmativa i, “toda equação separável é exata”: uma EDO separável tem forma tfracdydx=g(x)h(y). Escrevendo em forma diferencial -g(x)h(y),dx + dy =0, temos M(x,y)=-g(x)h(y) e N(x,y)=1. Como partial M/partial y=-g(x)h'(y) e partial N/partial x=0, em geral não são iguais, logo nem toda separável é exata sem integrar um fator extra. A afirmativa i é falsa.

Passo 3

Para a afirmativa ii, “toda equação exata é separável”: uma equação exata satisfaz M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 com partial M/partial y=partial N/partial x. Nem sempre resulta em dy/dx=f(x)g(y), pois pode haver dependência mista em x e y que não se separa. Logo, afirmativa ii também é falsa.

Passo 4

Para a afirmativa iii, “toda equação linear é exata”: uma EDO linear na forma y'+p(x)y=q(x) pode ser escrita como (p(x)y-q(x)),dx + dy=0. Aqui partial M/partial y=p(x) e partial N/partial x=0, que não são iguais em geral, então uma linear não é exata sem fator integrante. A afirmativa iii é falsa.

Passo 5

Como nenhuma das três afirmativas é verdadeira, a única opção correta é “nenhuma das anteriores”.

Resposta

(e) NDA

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