Exercício 2
a. Desenvolver em série de Fourier a função
-periodica impar tal que para todo
.
b. Calcular
.
c. Caluclar
.
d. Calcular
.
a. Desenvolver em série de Fourier a função
b. Calcular
c. Caluclar
d. Calcular
Passo 1
Resumo: o exercício pede (a) obter a série de Fourier de período 2π e ímpar da função f(x)=x(π−x) em [0,π], (b) calcular ∑_{n=0}^{∞} (−1)n/(2n+1)3, © calcular ∑_{n=0}^{∞} 1/(2n+1)^6 e (d) ∑_{n=1}^{∞} 1/n^6. Vamos usar expansão em série de Fourier ímpar (só senos), avaliar em x=π/2 e aplicar o teorema de Parseval.
Passo 2
Para achar a série de Fourier ímpar de f, escrevemos f(x)=∑_{n=1}^{∞} b_n sin(nx). Os coeficientes são b_n=
.
Passo 3
Calculamos I_n=
por partes duas vezes e obtemos I_n=
. Logo b_n=
, que vale zero para n par e
para n ímpar.
Passo 4
Assim a expansão fica:
Passo 5
Para (b), avaliamos em x=π/2: f(π/2)=π^2/4. Por outro lado
Igualando π^2/4=8/π·S, obtemos S=∑_{n=0}{∞}(−1)n/(2n+1)3=π3/32.
Passo 6
Para ©, usamos Parseval:
O lado esquerdo dá ∫_0π(x2(π-x)2)dx=π5/30. O lado direito é π/2·∑_{m=0}∞[8/(π(2m+1)3)]2=32/π·∑1/(2m+1)6. Igualando,
Passo 7
Para (d), note que ∑_{n=1}∞1/n6=ζ(6). Sabemos ζ(6)=π^6/945.
Resposta
(a)
(b)
©
(d)
(b)
©
(d)