Exercício 2
a. Desenvolver em série de Fourier a função f: R R 2 pi-periodica impar tal que para todo x in[0, pi], f(x)=x(pi-x).
b. Calcular sumn=0^+infty (-1)^n(2 n+1)^3.
c. Caluclar sumn=0^+infty 1(2 n+1)^6.
d. Calcular sumn=1^+infty 1n^6.

Passo 1

Resumo: o exercício pede (a) obter a série de Fourier de período 2π e ímpar da função f(x)=x(π−x) em [0,π], (b) calcular ∑_{n=0}^{∞} (−1)n/(2n+1)3, © calcular ∑_{n=0}^{∞} 1/(2n+1)^6 e (d) ∑_{n=1}^{∞} 1/n^6. Vamos usar expansão em série de Fourier ímpar (só senos), avaliar em x=π/2 e aplicar o teorema de Parseval.

Passo 2

Para achar a série de Fourier ímpar de f, escrevemos f(x)=∑_{n=1}^{∞} b_n sin(nx). Os coeficientes são b_n= 2piintegral0^pi x(pi-x)sin(nx),dx.

Passo 3

Calculamos I_n= integral0^pi x(pi-x)sin(nx),dx por partes duas vezes e obtemos I_n= 2,1-(-1)^nn^3. Logo b_n= 2piIn=4(1-(-1)^n)pi n^3, que vale zero para n par e 8/(pi n^3) para n ímpar.

Passo 4

Assim a expansão fica:
f(x)=8pisumm=0^inftysinl((2m+1)xr)(2m+1)^3

Passo 5

Para (b), avaliamos em x=π/2: f(π/2)=π^2/4. Por outro lado
f(tfracpi2)=8pisumm=0^inftysinl((2m+1)tfracpi2r)(2m+1)^3=8pisumm=0^infty(-1)^m(2m+1)^3
Igualando π^2/4=8/π·S, obtemos S=∑_{n=0}{∞}(−1)n/(2n+1)3=π3/32.

Passo 6

Para ©, usamos Parseval:
integral0^pi[x(pi-x)]^2dx=pi2sumn=1^inftybn^2
O lado esquerdo dá ∫_0π(x2(π-x)2)dx=π5/30. O lado direito é π/2·∑_{m=0}∞[8/(π(2m+1)3)]2=32/π·∑1/(2m+1)6. Igualando,
sumn=0^infty1(2n+1)^6=pi^6960

Passo 7

Para (d), note que ∑_{n=1}∞1/n6=ζ(6). Sabemos ζ(6)=π^6/945.

Resposta

(a) f(x)=8pisumm=0^inftysinl((2m+1)xr)(2m+1)^3
(b) sumn=0^infty(-1)^n(2n+1)^3=pi^332
© sumn=0^infty1(2n+1)^6=pi^6960
(d) sumn=1^infty1n^6=zeta(6)=pi^6945

Exercícios relacionados