Exercício 3
a. Desenvolver em série de Fourier a função f: R R 2 pi-periodica tal que para todo sumn=0^+infty(-1)^n 2 n+116 n^2+16 n+3.
b. Calcular .

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período 2π da função que vale f(x)=sinl(x/2r) em ]-pi,pi], e depois usar essa expansão para calcular uma soma infinita. Vamos precisar de conceitos básicos de séries de Fourier em função ímpar (só senos) e do valor da série em um ponto conveniente.

Passo 2

Como f é ímpar ( f(-x)=-f(x)), sua série de Fourier não tem termo constante nem cossenos, ficando só com senos:
f(x)=sumn=1^inftybn,sin(nx)
Os coeficientes são dados por
bn=2piintegral0^pif(x),sin(nx),dx

Passo 3

Substituindo f(x)=sin(x/2) e usando a fórmula produto-em-soma:
sinl(tfrac x2r)sin(nx)=tfrac12l[cos((n-tfrac12)x)-cos((n+tfrac12)x)r],
resolvemos
bn=2picdot12integral0^pi[cos((n-tfrac12)x)-cos((n+tfrac12)x)]dx
Cada integral de cosseno dá sin(alphapi)/alpha.

Passo 4

Depois de calcular as senoides em x=pi, usamos
sinl((n-tfrac12)pir)=(-1)^n-1,sinl((n+tfrac12)pir)=(-1)^n,
chega-se a
bn=(-1)^n-1,8npi(4n^2-1)
Assim a série de Fourier é
sinl(tfrac x2r)=sumn=1^infty(-1)^n-1,8npi(4n^2-1),sin(nx)

Passo 5

Para a soma do item (b), avaliamos essa série em x=tfracpi2. O lado esquerdo vale sin(pi/4)=tfracraiz22. No lado direito só sobrevivem os n ímpares, escrevendo n=2k+1, e
sinl((2k+1)tfracpi2r)=(-1)^k
Fica
raiz22=sumk=0^infty8(2k+1)pi(16k^2+16k+3)(-1)^k

Passo 6

Isolando a soma
S=sumk=0^infty(-1)^k2k+116k^2+16k+3,
temos
raiz22=8pi,SLongrightarrow S=piraiz216
Pronto, é só isso!

Resposta

Série de Fourier:
sinl(tfrac x2r)=sumn=1^infty(-1)^n-1,8npi(4n^2-1),sin(nx)
E a soma vale
$$\sum_{n=0}{\infty}(-1){n}\frac{2n+1}{16n^2+16n+3}=\frac{\pi\sqrt2}{16}.
$$

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