Exercício 3
a. Desenvolver em série de Fourier a função
-periodica tal que para todo
.
b. Calcular
.
a. Desenvolver em série de Fourier a função
b. Calcular
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier de período 2π da função que vale
em
, e depois usar essa expansão para calcular uma soma infinita. Vamos precisar de conceitos básicos de séries de Fourier em função ímpar (só senos) e do valor da série em um ponto conveniente.
Passo 2
Como
é ímpar (
), sua série de Fourier não tem termo constante nem cossenos, ficando só com senos:
Os coeficientes são dados por
Passo 3
Substituindo
e usando a fórmula produto-em-soma:
resolvemos
Cada integral de cosseno dá
.
Passo 4
Depois de calcular as senoides em
, usamos
chega-se a
Assim a série de Fourier é
Passo 5
Para a soma do item (b), avaliamos essa série em
. O lado esquerdo vale
. No lado direito só sobrevivem os
ímpares, escrevendo
, e
Fica
Passo 6
Isolando a soma
temos
Pronto, é só isso!
Resposta
Série de Fourier:
E a soma vale
$$\sum_{n=0}{\infty}(-1){n}\frac{2n+1}{16n^2+16n+3}=\frac{\pi\sqrt2}{16}.
$$