Exercício 4
a. Desenvolver em série de Fourier a função
-periodica tal que para todo
e para todo
.
b. Calcular
.
a. Desenvolver em série de Fourier a função
b. Calcular
Passo 1
A função é 2π-periódica, com f(x)=0 em ]−π,0] e f(x)=sen x em ]0,π]. Vamos obter a série de Fourier (coeficientes a₀, aₙ, bₙ) e depois calcular a soma ∑ₙ1/(4n²−1).
Passo 2
Para o termo constante usamos
Então o termo em série é a₀/2=1/π.
Passo 3
Para aₙ:
Usando produto-para-soma obtém-se
para n≠1 (e verifica-se por limite que a₁=0). Logo
Passo 4
Para bₙ:
pois dá integral de cossenos em simetria que se anula.
Passo 5
Montamos então a série de Fourier. Como (-1)ⁿ+1=0 para n ímpar, só aparecem termos pares n=2k. Fica
Passo 6
Para a soma pedida usamos frações parciais:
Somando de n=1 até ∞ forma-se uma série telescópica que deixa
Resposta
a) A série de Fourier é
b) A soma vale