Exercício 4
a. Desenvolver em série de Fourier a função f: R R 2 pi-periodica tal que para todo x in]-pi, 0], f(x)=0 e para todo x in] 0, pi], f(x)=sen x.
b. Calcular sumn=1^+infty 14 n^2-1.

Passo 1

A função é 2π-periódica, com f(x)=0 em ]−π,0] e f(x)=sen x em ]0,π]. Vamos obter a série de Fourier (coeficientes a₀, aₙ, bₙ) e depois calcular a soma ∑ₙ1/(4n²−1).

Passo 2

Para o termo constante usamos
a₀=1πintegral-π^πf(x),dx=1πintegral0^πsin x,dx=2π
Então o termo em série é a₀/2=1/π.

Passo 3

Para aₙ:
an=1πintegral-π^πf(x)cos(nx),dx=1πintegral0^πsin xcos(nx),dx
Usando produto-para-soma obtém-se
integral0^πsin xcos(nx),dx=(-1)^n+11-n^2,
para n≠1 (e verifica-se por limite que a₁=0). Logo
an=(-1)^n+1π(1-n^2)

Passo 4

Para bₙ:
bn=1πintegral-π^πf(x)sin(nx),dx=1πintegral0^πsin xsin(nx),dx=0
pois dá integral de cossenos em simetria que se anula.

Passo 5

Montamos então a série de Fourier. Como (-1)ⁿ+1=0 para n ímpar, só aparecem termos pares n=2k. Fica
f(x)=a₀2+sumn=1^infty ancos(nx) =1π+1πsumk=1^infty21-(2k)^2cos(2k x) =1π-2πsumk=1^inftycos(2k x)4k^2-1

Passo 6

Para a soma pedida usamos frações parciais:
14n^2-1=12l(12n-1-12n+1r)
Somando de n=1 até ∞ forma-se uma série telescópica que deixa
sumn=1^infty14n^2-1=12l(1-0r)=12

Resposta

a) A série de Fourier é
f(x)=1π-2πsumk=1^inftycos(2k x)4k^2-1
b) A soma vale
sumn=1^infty14n^2-1=12

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