Considere f(x, y, z)=x^2 y z^3 e F(x, y, z)=(x z,-y^2, 2 x^2 y). Agora calcule
  • nabla f
  • nabla cdot F
  • nabla times F
  • div(f F)
  • rot(f F)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções dadas:  f(x, y, z) = x^2 y z^3  e  F(x, y, z) = (x z, -y^2, 2 x^2 y) . A gente precisa calcular cinco coisas diferentes relacionadas a cálculo vetorial: o gradiente de  f , a divergência de  F , o rotacional de  F , a divergência de  f F  e o rotacional de  f F .
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos básicos de cálculo vetorial, como gradiente, divergência e rotacional. Vou te explicar cada um desses conceitos à medida que a gente for resolvendo os passos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente de  f , ou seja,  nabla f .
O que é o gradiente? O gradiente de uma função escalar como  f(x, y, z)  é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e suas componentes são as derivadas parciais de  f  em relação a cada uma das variáveis.
Então, para encontrar  nabla f , vamos calcular as derivadas parciais de  f  em relação a  x ,  y  e  z .
Calculando cada componente:
  • Derivada parcial de  f  em relação a  x :
partial fpartial x = partialpartial x (x^2 y z^3) = 2x y z^3
  • Derivada parcial de  f  em relação a  y :
partial fpartial y = partialpartial y (x^2 y z^3) = x^2 z^3
  • Derivada parcial de  f  em relação a  z :
partial fpartial z = partialpartial z (x^2 y z^3) = 3x^2 y z^2
Agora, juntando as derivadas, o gradiente de  f  é:
nabla f = ( 2x y z^3, x^2 z^3, 3x^2 y z^2 )

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência de  F , ou seja,  nabla cdot F .
O que é divergência? A divergência de um campo vetorial como  F  é uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. Matematicamente, é a soma das derivadas parciais das componentes do vetor.
Então, para encontrar  nabla cdot F , vamos calcular as derivadas parciais das componentes de  F  em relação a  x ,  y  e  z , e somá-las.
Dado  F(x, y, z) = (x z, -y^2, 2 x^2 y) :
  • Derivada parcial da primeira componente em relação a  x :
partialpartial x (x z) = z
  • Derivada parcial da segunda componente em relação a  y :
partialpartial y (-y^2) = -2y
  • Derivada parcial da terceira componente em relação a  z :
partialpartial z (2 x^2 y) = 0
Somando essas derivadas:
nabla cdot F = z - 2y + 0 = z - 2y

Passo 4

Agora, vamos calcular o rotacional de  F , ou seja,  nabla times F .
O que é rotacional? O rotacional de um campo vetorial mede a tendência de rotação em torno de um ponto. É um vetor que indica a “circulação” do campo em cada direção.
Para calcular  nabla times F , usamos a seguinte fórmula:
nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y )
Vamos aplicar isso ao  F(x, y, z) = (x z, -y^2, 2 x^2 y) :
  • Primeira componente:
partial F3partial y = partialpartial y (2 x^2 y) = 2 x^2
partial F2partial z = partialpartial z (-y^2) = 0
Então, a primeira componente é  2 x^2 - 0 = 2 x^2 .
  • Segunda componente:
partial F1partial z = partialpartial z (x z) = x
partial F3partial x = partialpartial x (2 x^2 y) = 4 x y
Então, a segunda componente é  x - 4 x y = x (1 - 4 y) .
  • Terceira componente:
partial F2partial x = partialpartial x (-y^2) = 0
partial F1partial y = partialpartial y (x z) = 0
Então, a terceira componente é  0 - 0 = 0 .
Portanto, o rotacional de  F  é:
nabla times F = ( 2 x^2, x (1 - 4 y), 0 )

Passo 5

Agora, vamos calcular a divergência de  f F , ou seja,  div(f F) .
O que é f F ? É o produto escalar da função f com o vetor F , resultando em um novo campo vetorial onde cada componente de  F  é multiplicada por  f .
Para calcular a divergência de f F , usaremos a propriedade:
div(f F) = nabla f cdot F + f cdot nabla cdot F
Já calculamos  nabla f  e  nabla cdot F  nos passos anteriores, então podemos usar esses resultados.
Lembrando:
nabla f = ( 2x y z^3, x^2 z^3, 3x^2 y z^2 )
nabla cdot F = z - 2y
F = (x z, -y^2, 2 x^2 y)
Primeiro, calculamos nabla f cdot F :
nabla f cdot F = (2x y z^3)(x z) + (x^2 z^3)(-y^2) + (3x^2 y z^2)(2 x^2 y)
= 2x^2 y z^4 - x^2 y^2 z^3 + 6 x^4 y^2 z^2
Agora, calculamos f cdot nabla cdot F :
f cdot nabla cdot F = x^2 y z^3 (z - 2y) = x^2 y z^4 - 2 x^2 y^2 z^3
Somando os dois resultados:
div(f F) = (2x^2 y z^4 - x^2 y^2 z^3 + 6 x^4 y^2 z^2) + (x^2 y z^4 - 2 x^2 y^2 z^3)
= 3x^2 y z^4 - 3x^2 y^2 z^3 + 6 x^4 y^2 z^2

Passo 6

Por fim, vamos calcular o rotacional de  f F , ou seja,  rot(f F) .
O que é rot(f F) ? É o rotacional (ou rotacional) do campo vetorial resultante do produto de f com F .
Para calcular rot(f F) , usamos a regra do produto para o rotacional:
rot(f F) = f (nabla times F) + nabla f times F
Já calculamos  nabla times F  e  nabla f  nos passos anteriores, então vamos usar esses resultados.
Lembrando:
nabla times F = ( 2 x^2, x (1 - 4 y), 0 )
nabla f = ( 2x y z^3, x^2 z^3, 3x^2 y z^2 )
F = (x z, -y^2, 2 x^2 y)
f = x^2 y z^3
Primeiro, calculamos f (nabla times F) :
f (nabla times F) = x^2 y z^3 ( 2 x^2, x (1 - 4 y), 0 ) = ( 2 x^4 y z^3, x^3 y z^3 (1 - 4 y), 0 )
Agora, calculamos nabla f times F :
nabla f times F = i & j & k 2x y z^3 & x^2 z^3 & 3x^2 y z^2 x z & -y^2 & 2 x^2 y
= i ( (x^2 z^3)(2 x^2 y) - (3x^2 y z^2)(-y^2) ) - j ( (2x y z^3)(2 x^2 y) - (3x^2 y z^2)(x z) ) + k ( (2x y z^3)(-y^2) - (x^2 z^3)(x z) )
= i ( 2 x^4 y z^3 + 3x^2 y^3 z^2 ) - j ( 4x^3 y^2 z^3 - 3x^3 y z^3 ) + k ( -2x y^3 z^3 - x^3 z^4 )
= ( 2 x^4 y z^3 + 3x^2 y^3 z^2, - (4x^3 y^2 z^3 - 3x^3 y z^3), -2x y^3 z^3 - x^3 z^4 )
= ( 2 x^4 y z^3 + 3x^2 y^3 z^2, -4x^3 y^2 z^3 + 3x^3 y z^3, -2x y^3 z^3 - x^3 z^4 )
Agora, somamos f (nabla times F) e nabla f times F para obter rot(f F) :
rot(f F) = ( 2 x^4 y z^3 + 3x^2 y^3 z^2, x^3 y z^3 (1 - 4 y), 0 ) + ( 2 x^4 y z^3 + 3x^2 y^3 z^2, -4x^3 y^2 z^3 + 3x^3 y z^3, -2x y^3 z^3 - x^3 z^4 )
= ( 4 x^4 y z^3 + 6x^2 y^3 z^2, x^3 y z^3 (1 - 4 y) -4x^3 y^2 z^3 + 3x^3 y z^3, -2x y^3 z^3 - x^3 z^4 )
Simplificando a segunda componente:
x^3 y z^3 (1 - 4 y) -4x^3 y^2 z^3 + 3x^3 y z^3 = x^3 y z^3 - 4x^3 y^2 z^3 -4x^3 y^2 z^3 + 3x^3 y z^3 = (1 + 3) x^3 y z^3 -8x^3 y^2 z^3 = 4x^3 y z^3 -8x^3 y^2 z^3
Então, o rotacional de  f F  é:
rot(f F) = ( 4 x^4 y z^3 + 6x^2 y^3 z^2, 4x^3 y z^3 -8x^3 y^2 z^3, -2x y^3 z^3 - x^3 z^4 )

Resposta

Então, resumindo os resultados obtidos:
  • Gradiente de  f :
nabla f = ( 2x y z^3, x^2 z^3, 3x^2 y z^2 )
  • Divergência de  F :
nabla cdot F = z - 2y
  • Rotacional de  F :
nabla times F = ( 2 x^2, x (1 - 4 y), 0 )
  • Divergência de  f F :
div(f F) = 3x^2 y z^4 - 3x^2 y^2 z^3 + 6 x^4 y^2 z^2
  • Rotacional de  f F :
rot(f F) = ( 4 x^4 y z^3 + 6x^2 y^3 z^2, 4x^3 y z^3 -8x^3 y^2 z^3, -2x y^3 z^3 - x^3 z^4 )

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