Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções dadas: e . A gente precisa calcular cinco coisas diferentes relacionadas a cálculo vetorial: o gradiente de , a divergência de , o rotacional de , a divergência de e o rotacional de .
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos básicos de cálculo vetorial, como gradiente, divergência e rotacional. Vou te explicar cada um desses conceitos à medida que a gente for resolvendo os passos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente de , ou seja, .
O que é o gradiente? O gradiente de uma função escalar como é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e suas componentes são as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis.
Então, para encontrar , vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .
Calculando cada componente:
Derivada parcial de em relação a :
Derivada parcial de em relação a :
Derivada parcial de em relação a :
Agora, juntando as derivadas, o gradiente de é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência de , ou seja, .
O que é divergência? A divergência de um campo vetorial como é uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. Matematicamente, é a soma das derivadas parciais das componentes do vetor.
Então, para encontrar , vamos calcular as derivadas parciais das componentes de em relação a , e , e somá-las.
Dado :
Derivada parcial da primeira componente em relação a :
Derivada parcial da segunda componente em relação a :
Derivada parcial da terceira componente em relação a :
Somando essas derivadas:
Passo 4
Agora, vamos calcular o rotacional de , ou seja, .
O que é rotacional? O rotacional de um campo vetorial mede a tendência de rotação em torno de um ponto. É um vetor que indica a “circulação” do campo em cada direção.
Para calcular , usamos a seguinte fórmula:
Vamos aplicar isso ao :
Primeira componente:
Então, a primeira componente é .
Segunda componente:
Então, a segunda componente é .
Terceira componente:
Então, a terceira componente é .
Portanto, o rotacional de é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a divergência de , ou seja, .
O que é ? É o produto escalar da função com o vetor , resultando em um novo campo vetorial onde cada componente de é multiplicada por .
Para calcular a divergência de , usaremos a propriedade:
Já calculamos e nos passos anteriores, então podemos usar esses resultados.
Lembrando:
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Somando os dois resultados:
Passo 6
Por fim, vamos calcular o rotacional de , ou seja, .
O que é ? É o rotacional (ou rotacional) do campo vetorial resultante do produto de com .
Para calcular , usamos a regra do produto para o rotacional:
Já calculamos e nos passos anteriores, então vamos usar esses resultados.
Lembrando:
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
= i ( (x^2 z^3)(2 x^2 y) - (3x^2 y z^2)(-y^2) ) - j ( (2x y z^3)(2 x^2 y) - (3x^2 y z^2)(x z) ) + k ( (2x y z^3)(-y^2) - (x^2 z^3)(x z) )
= i ( 2 x^4 y z^3 + 3x^2 y^3 z^2 ) - j ( 4x^3 y^2 z^3 - 3x^3 y z^3 ) + k ( -2x y^3 z^3 - x^3 z^4 )