Sabendo que
, qual é o valor de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão diz que
e pede para encontrarmos o valor de
. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo vetorial, especificamente ao operador divergente. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a divergência de um campo vetorial e depois avaliar a função resultante no ponto (1,1,1).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência,
, mede a taxa de fluxo de
saindo de um ponto. Se
, então:
Passo 3
No nosso caso, temos
. Aqui,
é uma função escalar multiplicando o campo vetorial
. Quando multiplicamos uma função escalar por um vetor, cada componente do vetor é multiplicada por essa função.
Então,
.
Passo 4
Aplicando a definição da divergência a
:
Passo 5
Agora, usamos a regra de derivação para o produto de duas funções, que diz que
, onde
representa cada variável
,
, ou
.
Aplicando isso:
Passo 6
Observamos que
. Assim, podemos reescrever:
Aqui,
representa o produto escalar entre o vetor
e o gradiente de
.
Passo 7
Agora, voltando à expressão original:
Substituímos a expressão da divergência que encontramos:
Passo 8
Para encontrar
, precisamos avaliar as funções
,
,
e
no ponto
.
Sem informações adicionais sobre
e
, não podemos calcular um valor numérico específico. Portanto, o valor de
depende das funções
e
fornecidas.
Resposta
Não é possível determinar
sem informações adicionais sobre as funções
e
.