Prove que:
sumk=1^+infty 3^k+5^k15^k=34

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série infinita
sumk=1^+infty 3^k+5^k15^k
que é a soma de duas séries geométricas. Vamos usar a definição e a fórmula de soma para séries geométricas com razão |r|<1.

Passo 2

Separemos a soma em duas parcelas:
sumk=1^+infty 3^k+5^k15^k = sumk=1^+infty 3^k15^k + sumk=1^+infty 5^k15^k = sumk=1^+inftyl(315r)^k + sumk=1^+inftyl(515r)^k
Simplificando as razões, isso vira
sumk=1^+inftyl(tfrac15r)^k + sumk=1^+inftyl(tfrac13r)^k

Passo 3

Cada uma das duas séries agora é geométrica de primeira ocorrência em k=1, com razão r1=tfrac15 e r2=tfrac13. Para lvert rrvert<1, vale a fórmula
sumk=1^+inftyr^k=r1-r

Passo 4

Aplicando a fórmula a cada parcela:
sumk=1^+inftyl(tfrac15r)^k =tfrac151-tfrac15 =tfrac15tfrac45 =14,
sumk=1^+inftyl(tfrac13r)^k =tfrac131-tfrac13 =tfrac13tfrac23 =12

Passo 5

Somando as duas contribuições:
14 + 12 = 14 + 24 = 34

Resposta

34

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