Resolva as seguintes inequações modulares:
|x-1|+|x+2|>|x+3|.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos resolver a inequação
|x-1|+|x+2|>|x+3|.
O conteúdo é inequação com valores absolutos. Para resolver, vamos usar a definição de valor absoluto em trechos onde cada argumento muda de sinal, isto é, em x=-3, x=-2 e x=1.

Passo 2

Dividimos a reta real em quatro intervalos segundo esses pontos: intervalo 1: x<= -3, intervalo 2: -3<= x<= -2, intervalo 3: -2<= x<= 1, intervalo 4: x>= 1.
Em cada intervalo expressamos |x-1|, |x+2| e |x+3| sem valor absoluto e depois resolvemos a desigualdade linear resultante, verificando sempre a consistência com o intervalo.

Passo 3

No intervalo x<= -3 temos
|x-1|=-(x-1), |x+2|=-(x+2), |x+3|=-(x+3)
Logo a desigualdade vira
-(x-1)-(x+2)>-(x+3),
isto é
-2x-1>-x-3Longrightarrow x<2
Como todo x<= -3 satisfaz x<2, concluímos que toda essa região é solução.

Passo 4

No intervalo -3<= x<= -2 temos
|x-1|=-(x-1), |x+2|=-(x+2), |x+3|=x+3
A inequação fica
-2x-1>x+3Longrightarrow x<-tfrac43
Na interseção de -3<= x<= -2 com x<-tfrac43 está todo o intervalo [-3,-2]. Então toda essa região também satisfaz a desigualdade.

Passo 5

No intervalo -2<= x<= 1 a única expressão negativa é x-1, de modo que
|x-1|=-(x-1), |x+2|=x+2, |x+3|=x+3
(-x+1)+(x+2)>x+3Longrightarrow3>x+3Longrightarrow x<0
Assim a parte da solução aqui é -2<= x<0.

Passo 6

Para x>= 1 todas as expressões estão sem módulo, logo
(x-1)+(x+2)>x+3Longrightarrow2x+1>x+3Longrightarrow x>2
Portanto nessa faixa a solução é x>2.

Passo 7

Unindo as soluções dos quatro casos temos
(-infty,-3]cup[-3,-2]cup[-2,0)cup(2,infty) ;=;(-infty,0)cup(2,infty)

Resposta

(-infty,0)cup(2,infty).

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