Considere agora que a casca cilíndrica seja de material condutor, uniformemente carregada com uma carga/ unidade de comprimento igual a
.
calcule a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície externa e um ponto no centro. O que muda em relação ao anterior?
calcule a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície externa e um ponto no centro. O que muda em relação ao anterior?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para calcular a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície externa de uma casca cilíndrica condutora e um ponto no centro dela. A casca está uniformemente carregada com uma carga por unidade de comprimento igual a
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de potencial elétrico, distribuição de carga em condutores e a aplicação da Lei de Gauss para determinar o campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do material condutor é zero. Isso significa que todo o excesso de carga reside na superfície do condutor.
Passo 3
Como temos uma casca cilíndrica condutora com carga por unidade de comprimento
, podemos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico fora da casca. A Lei de Gauss nos diz que:
Onde
é a carga encerrada pela superfície gaussiana e
é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 4
Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com a casca, de raio
e comprimento
. A carga encerrada por essa superfície é
. Então, a integral se simplifica para:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora, para encontrar o potencial elétrico
, usamos a relação entre
e
:
Integrando de uma distância de referência para outra, podemos encontrar a diferença de potencial entre dois pontos.
Passo 6
Vamos definir o potencial no centro da casca como referência
. Então, o potencial na superfície externa
será:
Passo 7
Calculando a integral:
Aqui, notamos que quando
tende a 0, o logaritmo diverge negativamente, mas como estamos considerando o potencial relativo, ajustamos a constante de integração de forma apropriada.
Passo 8
Portanto, a diferença de potencial entre a superfície externa e o centro é:
Resposta
A diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície externa da casca cilíndrica condutora e o ponto no centro é:
O que muda em relação ao caso anterior (quando a casca não era condutora) é que agora todo o excesso de carga reside na superfície, o que modifica a distribuição do campo elétrico e, consequentemente, o potencial elétrico.