Considere agora que a casca cilíndrica seja de material condutor, uniformemente carregada com uma carga/ unidade de comprimento igual a lambda.
calcule a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície externa e um ponto no centro. O que muda em relação ao anterior?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para calcular a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície externa de uma casca cilíndrica condutora e um ponto no centro dela. A casca está uniformemente carregada com uma carga por unidade de comprimento igual a lambda. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de potencial elétrico, distribuição de carga em condutores e a aplicação da Lei de Gauss para determinar o campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do material condutor é zero. Isso significa que todo o excesso de carga reside na superfície do condutor.

Passo 3

Como temos uma casca cilíndrica condutora com carga por unidade de comprimento lambda, podemos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico fora da casca. A Lei de Gauss nos diz que:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Onde Qenc é a carga encerrada pela superfície gaussiana e varepsilon0 é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 4

Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com a casca, de raio r e comprimento L. A carga encerrada por essa superfície é Qenc = lambda L. Então, a integral se simplifica para:
E cdot (2pi r L) = lambda Lvarepsilon0
Resolvendo para E:
E = lambda2pi varepsilon0 r

Passo 5

Agora, para encontrar o potencial elétrico V, usamos a relação entre E e V:
E = -dVdr
Integrando de uma distância de referência para outra, podemos encontrar a diferença de potencial entre dois pontos.

Passo 6

Vamos definir o potencial no centro da casca como referência V = 0. Então, o potencial na superfície externa V(R) será:
V(R) - V(0) = -integral0^R E , dr = -integral0^R lambda2pi varepsilon0 r , dr

Passo 7

Calculando a integral:
V(R) = -lambda2pi varepsilon0 integral0^R 1r , dr = -lambda2pi varepsilon0 [ln r]0^R
Aqui, notamos que quando r tende a 0, o logaritmo diverge negativamente, mas como estamos considerando o potencial relativo, ajustamos a constante de integração de forma apropriada.

Passo 8

Portanto, a diferença de potencial entre a superfície externa e o centro é:
V(R) = lambda2pi varepsilon0 ln R

Resposta

A diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície externa da casca cilíndrica condutora e o ponto no centro é:
V(R) = lambda2pi varepsilon0 ln R
O que muda em relação ao caso anterior (quando a casca não era condutora) é que agora todo o excesso de carga reside na superfície, o que modifica a distribuição do campo elétrico e, consequentemente, o potencial elétrico.

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