Considere uma casca esférica de raio interno R1 e externo R2, de material isolante, uniformemente carregada com uma densidade volumétrica de carga rho.
calcular a diferença de potencial entre um ponto na superfície externa e um ponto situado na superfície interna. Que muda se a questão fosse calcular a diferença de potencial entre um ponto na superfície interna e um ponto situado na superfície externa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma casca esférica, que é tipo uma “bolha” com dois raios: interno ( R1) e externo ( R2). Essa casca é feita de um material isolante e está carregada de forma uniforme, ou seja, a carga está distribuída igualmente por todo o volume com uma densidade de carga rho. O que precisamos calcular é a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície externa e outro na interna. Além disso, vamos ver o que muda se a gente calcular a diferença de potencial na direção inversa.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e, depois, integrar esse campo para achar a diferença de potencial. Não se preocupe, vou explicar cada parte passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a carga está distribuída na casca esférica. Como a densidade volumétrica de carga é rho, a carga total Q na casca pode ser calculada multiplicando rho pelo volume da casca. O volume de uma esfera é dado por 43pi R^3, então o volume da casca é . Assim:
43pi (R2^3 - R1^3)

Passo 3

Agora, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico E em diferentes regiões:
  1. Para r < R1 (dentro da cavidade interna):
    Não há carga dentro dessa região, então pelo Teorema de Gauss, o campo elétrico é zero.
  2. Para R1 <= r <= R2 (dentro da casca):
    Aqui, a carga interna a uma esfera de raio r é proporcional ao volume até r. Então, a carga interna Qinterno é:
    Qinterno = rho times 43pi (r^3 - R1^3)
    O campo elétrico é então:
  3. Para E(r) = Qinterno4pi varepsilon0 r^2 = rho (r^3 - R1^3)3varepsilon0 r^2 (fora da casca):
    Toda a carga r > R2 está dentro dessa região, então o campo elétrico é:

Passo 4

Agora que temos o campo elétrico em cada região, vamos calcular a diferença de potencial V entre dois pontos. A diferença de potencial entre dois pontos a e b é dada por:
V(b) - V(a) = -integrala^b E(r) , dr
Vamos calcular a diferença de potencial entre a superfície externa ( R2) e a interna ( R1):
V(R2) - V(R1) = -integralR1^R2 E(r) , dr
Substituindo E(r) na integral:

Passo 5

Vamos simplificar a integral:
V(R2) - V(R1) = -rho3varepsilon0 integralR1^R2 (r^3r^2 - R1^3r^2) , dr = -rho3varepsilon0 integralR1^R2 (r - R1^3r^2) , dr
Calculando a integral:
integral (r - R1^3r^2) , dr = r^22 + R1^3r + C
Aplicando os limites de integração:
V(R2) - V(R1) = -rho3varepsilon0 [ ( R2^22 + R1^3R2 ) - ( R1^22 + R1^3R1 ) ]
Simplificando:
V(R2) - V(R1) = -rho3varepsilon0 ( R2^2 - R1^22 + R1^3R2 - R1^2 )

Passo 6

Finalmente, simplificando mais a expressão:
V(R2) - V(R1) = -rho3varepsilon0 ( R2^2 - R1^22 - R1^3R2 )
Podemos reescrever isso como:
V(R2) - V(R1) = rho3varepsilon0 ( R1^3R2 - R2^2 - R1^22 )

Resposta

A diferença de potencial entre um ponto na superfície externa e um ponto na superfície interna é:
V(R2) - V(R1) = rho3varepsilon0 ( R1^3R2 - R2^2 - R1^22 )
Se calcularmos a diferença de potencial na direção inversa, ou seja, de um ponto na superfície interna para um ponto na superfície externa, teremos:
V(R1) - V(R2) = -( V(R2) - V(R1) )
Ou seja, a diferença de potencial muda de sinal.

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