Considere uma casca esférica de raio interno
e externo
, de material isolante, uniformemente carregada com uma densidade volumétrica de carga
.
calcular a diferença de potencial entre um ponto na superfície externa e um ponto situado na superfície interna. Que muda se a questão fosse calcular a diferença de potencial entre um ponto na superfície interna e um ponto situado na superfície externa?
calcular a diferença de potencial entre um ponto na superfície externa e um ponto situado na superfície interna. Que muda se a questão fosse calcular a diferença de potencial entre um ponto na superfície interna e um ponto situado na superfície externa?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma casca esférica, que é tipo uma “bolha” com dois raios: interno (
) e externo (
). Essa casca é feita de um material isolante e está carregada de forma uniforme, ou seja, a carga está distribuída igualmente por todo o volume com uma densidade de carga
. O que precisamos calcular é a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície externa e outro na interna. Além disso, vamos ver o que muda se a gente calcular a diferença de potencial na direção inversa.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e, depois, integrar esse campo para achar a diferença de potencial. Não se preocupe, vou explicar cada parte passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a carga está distribuída na casca esférica. Como a densidade volumétrica de carga é
, a carga total
na casca pode ser calculada multiplicando
pelo volume da casca. O volume de uma esfera é dado por
, então o volume da casca é . Assim:
Passo 3
Agora, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico
em diferentes regiões:
-
Para
(dentro da cavidade interna):
Não há carga dentro dessa região, então pelo Teorema de Gauss, o campo elétrico é zero. -
Para
(dentro da casca):
Aqui, a carga interna a uma esfera de raioé proporcional ao volume até . Então, a carga interna é: O campo elétrico é então: -
Para
(fora da casca):
Toda a cargaestá dentro dessa região, então o campo elétrico é:
Passo 4
Agora que temos o campo elétrico em cada região, vamos calcular a diferença de potencial
entre dois pontos. A diferença de potencial entre dois pontos
e
é dada por:
Vamos calcular a diferença de potencial entre a superfície externa (
) e a interna (
):
Substituindo
na integral:
Passo 5
Vamos simplificar a integral:
Calculando a integral:
Aplicando os limites de integração:
Simplificando:
Passo 6
Finalmente, simplificando mais a expressão:
Podemos reescrever isso como:
Resposta
A diferença de potencial entre um ponto na superfície externa e um ponto na superfície interna é:
Se calcularmos a diferença de potencial na direção inversa, ou seja, de um ponto na superfície interna para um ponto na superfície externa, teremos:
Ou seja, a diferença de potencial muda de sinal.