Considere, agora, o espaço vetorial das funções de em , mostre que são linearmente independentes, em que e .
Passo 1
O enunciado quer que mostremos que as funções
são linearmente independentes em , o espaço de todas as funções . Vamos usar a definição de independência linear (combinação linear nula implica coeficientes todos nulos) e explorar derivadas para obter um sistema de equações em .
Passo 2
Suponha que existam escalares tais que, para todo ,
Isto é,
Denotemos essa função identicamente nula por
Passo 3
Como para todo , suas derivadas também são zero em todo ponto. Calculamos:
Passo 4
Agora avaliamos
Isso gera o sistema
Da terceira equação vem . Então e da segunda .
Resposta
Os únicos escalares que satisfazem a,f(t)+b,g(t)+c,h(t)=0 para todo t são a=b=c=0. Logo, f, g e h são linearmente independentes.