Considere, agora, V o espaço vetorial das funções de R em R, mostre que f, g, h in R são linearmente independentes, em que f(t)=e^t, g(t)=sin (t) e h(t)=cos (t).

Passo 1

O enunciado quer que mostremos que as funções
f(t)=e^t, g(t)=sin(t), h(t)=cos(t)
são linearmente independentes em V, o espaço de todas as funções RtoR. Vamos usar a definição de independência linear (combinação linear nula implica coeficientes todos nulos) e explorar derivadas para obter um sistema de equações em a,b,c.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,cinR tais que, para todo tinR,
a,f(t)+b,g(t)+c,h(t)=0
Isto é,
a,e^t + b,sin(t) + c,cos(t) = 0 para todo t
Denotemos essa função identicamente nula por
F(t)=a,e^t + b,sin(t) + c,cos(t)

Passo 3

Como F(t)=0 para todo t, suas derivadas também são zero em todo ponto. Calculamos:
F'(t)=a,e^t + b,cos(t) - c,sin(t),
F''(t)=a,e^t - b,sin(t) - c,cos(t)

Passo 4

Agora avaliamos
Isso gera o sistema
Da terceira equação vem . Então e da segunda .

Resposta

Os únicos escalares que satisfazem a,f(t)+b,g(t)+c,h(t)=0 para todo t são a=b=c=0. Logo, f, g e h são linearmente independentes.

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