Determine a base ea dimensão do subespaço de gerado por e .
Passo 1
O enunciado pede a base e a dimensão do subespaço
com
O conteúdo aqui é teoria de espaços vetoriais: para achar dimensão e base de , precisamos verificar se é linearmente independente e, em caso afirmativo, esse próprio conjunto é uma base de e .
Passo 2
Formamos a matriz cujas linhas são e aplicamos eliminação de Gauss:
Fazendo R2 R2-2R1:
1 & 4 & -1 & 3 0 & -7 & -1 & -7 0 & 2 & 1 & -5
Agora trocamos R2 e R3 para ter pivô em posição (2,2):
Na forma escalonada da matriz vemos pivôs em três colunas distintas (coluna 1, coluna 2 e coluna 3). Isso mostra que as três linhas originais são linearmente independentes, logo rank=3.
Passo 4
Como v1,v2,v3 é independente e gera W, esse conjunto já é uma base de W.