Determine a base ea dimensão do subespaço W de R^4 gerado por (1,4,-1,3),(2,1,-3,-1) e (0,2,1,-5).

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do subespaço
W=spanv1,v2,v3subsetR^4
com
v1=(1,4,-1,3), v2=(2,1,-3,-1), v3=(0,2,1,-5)
O conteúdo aqui é teoria de espaços vetoriais: para achar dimensão e base de W, precisamos verificar se v1,v2,v3 é linearmente independente e, em caso afirmativo, esse próprio conjunto é uma base de W e dim W=3.

Passo 2

Formamos a matriz cujas linhas são v1,v2,v3 e aplicamos eliminação de Gauss:
1 & 4 & -1 & 3 2 & 1 & -3 & -1 0 & 2 & 1 & -5
Fazendo R2 R2-2R1:
1 & 4 & -1 & 3 0 & -7 & -1 & -7 0 & 2 & 1 & -5
Agora trocamos R2 e R3 para ter pivô em posição (2,2):
1 & 4 & -1 & 3 0 & 2 & 1 & -5 0 & -7 & -1 & -7
Fazendo R3 R3+tfrac72R2:
1 & 4 & -1 & 3 0 & 2 & 1 & -5 0 & 0 & tfrac52 & -tfrac492

Passo 3

Na forma escalonada da matriz vemos pivôs em três colunas distintas (coluna 1, coluna 2 e coluna 3). Isso mostra que as três linhas originais são linearmente independentes, logo rank=3.

Passo 4

Como v1,v2,v3 é independente e gera W, esse conjunto já é uma base de W.

Resposta

Uma base de W é
, (1,4,-1,3),;(2,1,-3,-1),;(0,2,1,-5),
e dim W = 3.

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