O enunciado nos dá uma base de e define três vetores em função de :
Queremos mostrar que também é base. Para isso, vamos usar a propriedade de que três vetores em formam base se, e somente se, forem linearmente independentes, o que é equivalente a o determinante da matriz cujas colunas são suas coordenadas ser não nulo.
Passo 2
Expressamos as coordenadas de na base . Em coordenadas:
Formamos a matriz cujas colunas são esses vetores:
Passo 3
Calculamos o determinante de M. Usando a expansão pela primeira linha:
det M =1cdotdet1 & -11 & 0 -0cdotdet-3 & -10 & 0 +1cdotdet-3 & 10 & 1
Como det Mneq0, os vetores vec f1,vec f2,vec f3 são linearmente independentes. Em R^3, três vetores independentes também geram o espaço todo, logo F é base de R^3.
Resposta
F=(vec f1,vec f2,vec f3) é base de R^3 porque det M=-2neq 0.