Seja E=(e1, e2, e3) uma base e defina
f1 & =e1-3 e2 f2 & =e2+e3 f3 & =e1-e2
(b) Mostre que F=(f1, f2, f3) é base.

Passo 1

O enunciado nos dá uma base E=(vec e1,vec e2,vec e3) de R^3 e define três vetores em função de E:
vec f1=vec e1-3vec e2, vec f2=vec e2+vec e3, vec f3=vec e1-vec e2
Queremos mostrar que F=(vec f1,vec f2,vec f3) também é base. Para isso, vamos usar a propriedade de que três vetores em R^3 formam base se, e somente se, forem linearmente independentes, o que é equivalente a o determinante da matriz cujas colunas são suas coordenadas ser não nulo.

Passo 2

Expressamos as coordenadas de vec fi na base E. Em coordenadas:
vec f1=(1,,-3,,0), vec f2=(0,,1,,1), vec f3=(1,,-1,,0)
Formamos a matriz M cujas colunas são esses vetores:
M= 1 & 0 & 1 -3 & 1 & -1 0 & 1 & 0

Passo 3

Calculamos o determinante de M. Usando a expansão pela primeira linha:
det M =1cdotdet1 & -11 & 0 -0cdotdet-3 & -10 & 0 +1cdotdet-3 & 10 & 1
Agora,
det1 & -11 & 0 =1cdot0-(-1)cdot1=1, det-3 & 10 & 1 =-3cdot1-1cdot0=-3
Logo,
det M=1cdot1+1cdot(-3)=1-3=-2neq0

Passo 4

Como det Mneq0, os vetores vec f1,vec f2,vec f3 são linearmente independentes. Em R^3, três vetores independentes também geram o espaço todo, logo F é base de R^3.

Resposta

F=(vec f1,vec f2,vec f3) é base de R^3 porque det M=-2neq 0.

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