Dados
e um vetor não nulo
, mostre que
. Conclua que
, se
é unitário.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a fórmula da projeção ortogonal de
sobre um vetor não nulo
. Nós vamos usar o fato de que a projeção é um vetor paralelo a
e que o erro da projeção (isto é,
) deve ser ortogonal a
. Precisamos dos conceitos de produto escalar
e norma
.
Passo 2
Como
é paralelo a
, podemos escrever
para algum escalar
.
Passo 3
A condição de projeção ortogonal diz que o vetor de erro
é ortogonal a
. Logo,
Distributivamente,
Passo 4
Substituindo
em
, obtemos
Se além disso
for unitário, então
e a fórmula se reduz a
Resposta
e, se
,