Dados w e um vetor não nulo v, mostre que projv w=w cdot v|v|^2 v. Conclua que projv w=(w cdot v) v, se v é unitário.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a fórmula da projeção ortogonal de w sobre um vetor não nulo v. Nós vamos usar o fato de que a projeção é um vetor paralelo a v e que o erro da projeção (isto é, w-projvw) deve ser ortogonal a v. Precisamos dos conceitos de produto escalar acdotb e norma |v|.

Passo 2

Como projvw é paralelo a v, podemos escrever
projvw = t,v
para algum escalar t.

Passo 3

A condição de projeção ortogonal diz que o vetor de erro w-t,v é ortogonal a v. Logo,
(w-t,v)cdotv = 0
Distributivamente,
wcdotv - t;(vcdotv) = 0 Longrightarrow t = wcdotvvcdotv = wcdotv|v|^2

Passo 4

Substituindo t em projvw=t,v, obtemos
projvw = wcdotv|v|^2,v
Se além disso v for unitário, então |v|=1 e a fórmula se reduz a
projvw = (wcdotv),v

Resposta

projvw = wcdotv|v|^2,v,
e, se |v|=1,
projvw = (wcdotv),v

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