Determine se:
os vetores (1,3,-4),(1,4,-3) e (2,3,-11) formam uma base de R^3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores
;(1,3,-4), ;(1,4,-3) e ;(2,3,-11)
formam uma base de R^3. Para isso, basta checar se eles são linearmente independentes, o que é equivalente a verificar se a matriz que os tem como colunas tem determinante não nulo.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são esses vetores e calculamos det A por expansão na primeira linha:
A = 1 & 1 & 2 3 & 4 & 3 -4 & -3 & -11 ,
det A = 1cdotl(4cdot(-11)-3cdot(-3)r) -1cdotl(3cdot(-11)-3cdot(-4)r) +2cdotl(3cdot(-3)-4cdot(-4)r)
Agora simplificamos cada termo:
4cdot(-11)-3cdot(-3)=-44+9=-35,
3cdot(-11)-3cdot(-4)=-33+12=-21,
3cdot(-3)-4cdot(-4)=-9+16=7
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det A = 1cdot(-35) -1cdot(-21) +2cdot7 = -35 +21 +14 = 0

Passo 3

Como det A = 0, os vetores são linearmente dependentes e, portanto, não formam uma base de R^3.

Resposta

Não formam uma base de R^3.

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