Considere agora a inclusão de dois novos alimentos dentre as possibilidades já existentes: cenoura, que oferece 350 mcg de vitamina A / 100 g de alimento consumido, ao custo de 22 centavos, e abóbora, que oferece 1.100 mcg de vitamina A / 100 g de alimento consumido, ao custo de 75 centavos. Ignorando a contribuição destes alimentos para suprir as necessidades de vitamina C, ferro e cálcio, reconstrua o modelo, resolva-o.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos que incluir dois novos alimentos na nossa análise: a cenoura e a abóbora. Cada um deles oferece uma certa quantidade de vitamina A por 100 gramas e tem um custo específico. Nosso objetivo é reconstruir o modelo que usamos para decidir a melhor combinação de alimentos que atenda às necessidades de vitamina A, minimizando o custo total. Para isso, vamos precisar entender um pouco de programação linear, que é uma técnica matemática usada para otimizar problemas como esse.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis que representam as quantidades dos alimentos que vamos consumir. Vamos chamar:
  • de quantidade de cenoura (em gramas).
  • de quantidade de abóbora (em gramas).
Essas variáveis serão as que iremos ajustar para encontrar a melhor solução que atenda às nossas necessidades.

Passo 3

Agora, vamos estabelecer a função objetivo. Queremos minimizar o custo total dos alimentos. Sabemos que:
  • A cenoura custa 22 centavos por 100 gramas, então o custo por grama é Minimizar C = 0,0022x + 0,0075y reais por grama.
  • A abóbora custa 75 centavos por 100 gramas, então o custo por grama é reais por grama.
Portanto, a função objetivo será:
Essa é a equação que vamos tentar minimizar.

Passo 4

Em seguida, precisamos definir as restrições do nosso modelo. A principal restrição é que precisamos atender a uma quantidade mínima de vitamina A. Vamos supor que a necessidade diária de vitamina A seja, por exemplo, 900 mcg.
Sabemos que:
  • A cenoura fornece 350 mcg de vitamina A por 100 gramas, então por grama é 3,5x + 11y >= 900 mcg por grama.
  • A abóbora fornece 1.100 mcg de vitamina A por 100 gramas, então por grama é x >= 0 y >= 0 mcg por grama.
Logo, a restrição de vitamina A será:
Além disso, não podemos consumir quantidades negativas de alimentos, então temos:

Passo 5

Agora, vamos resumir nosso modelo de programação linear:
Minimizar C = 0,0022x + 0,0075y Sujeito a: 3,5x + 11y >= 900 x >= 0 y >= 0
Esse é o nosso modelo que precisamos resolver para encontrar a quantidade ideal de cenoura e abóbora a serem consumidas.

Passo 6

Para resolver esse modelo, podemos usar o método gráfico, já que temos apenas duas variáveis. Vamos traçar a restrição de vitamina A no plano 3,5x + 11y = 900 :
  1. Primeiro, rearranjamos a inequação para encontrar os interceptos:
x = 0 Rightarrow y = 90011 approx 81,82 y = 0 Rightarrow x = 9003,5 approx 257,14
  1. Traçamos a linha que passa por esses dois pontos: (0, 81,82) e (257,14, 0).
  2. Como a inequação é , a região de solução será acima dessa linha.
  3. A interseção das restrições e limita nossa área de solução ao primeiro quadrante.
Agora, vamos verificar os vértices dessa área para encontrar qual deles minimiza o custo.

Passo 7

Os vértices possíveis são:
  1. (0, 81,82)
  2. (257,14, 0)
  3. Ponto de interseção com outras restrições, mas nesse caso, só temos a restrição de vitamina A.
Vamos calcular o custo em cada um:
  1. Para (0, 81,82):
C = 0,0022(0) + 0,0075(81,82) approx 0 + 0,6136 = 0,6136 reais
  1. Para (257,14, 0):
C = 0,0022(257,14) + 0,0075(0) approx 0,5661 + 0 = 0,5661 reais
Comparando os custos, o ponto (257,14, 0) tem um custo menor.

Resposta

A quantidade ideal para minimizar o custo, atendendo à necessidade de vitamina A, é consumir aproximadamente 257,14 gramas de cenoura e 0 gramas de abóbora, resultando em um custo total de R$ 0,5661.

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